Catalan数

一、定义

  Catalan数是组合数学中在经常出现在计数问题中的数列，前几项为:

  (1,2 , 5 ,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900，……)

二、求解公式

  Catalan数有(4)个常用的求解公式

  (①)递归公式1

[f(n)=sum_{i=1}^{n-1}f(i)*f(n-i-1) ]

  (②)递归公式2

[f(n)=frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1} ]

  (③)组合公式1

[f(n)=frac{C_{2n}^n}{n+1} ]

  (④)组合公式2

[f(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1} ]

例1 二叉树计数

  已知一个二叉树有n个节点，求该二叉树有多少种不同的形态。

  定一个点为根,假设左子树有(i)个节点，右子树有((n-i-1))个节点，那么根据乘法原理把他乘起来即可。我们设f(n)为n个节点的不同的二叉树形态个数，那么答案为：

[f(n)=sum_{i=1}^{n-1}f(i)*f(n-i-1) ]

  这显然就是Catalan数，用组合公式求解即可。

例2 AB排列问题

  有(n)个(A)和(n)个(B)排在一起，要求从(1)开始的任意位置(B)的个数不能超过(A)的个数，求方案数。

  直接求解满足条件的比较复杂，我们考虑求不符合条件的情况

  令(n)个(A)和(n)个(B)组成的序列(S)不满足条件，那么我们就必定可以找到一个位置(p)满足(S[1...2p+1])中有(p+1)个(B),(p)个(A)。我们将(S[2p+2...2n])的所有(A)转(B)，(B)转(A)，可以得到一个由(n-1)个(n+1)个B，(n-1)个(A)组成的序列。

  相应的，对于一个由(n-1)个(n+1)个B，(n-1)个(A)组成的序列，我们必定可以找到一个位置(p)满足(S[1...2p+1])有(p+1)个(B)和(p)个(A)。把(S)剩下的转换之后，就得到一个由(n)个(A)和(n)个(B)组成的、存在一个前缀为(B)比(A)多的序列。

  因此，这两个序列形成了一个双射，或者它们一一对应。

  所以，根据组合数定义，符合条件的排列的个数为：

[C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=frac{C_{2n}^n}{n+1}=Cat_n ]

例3 乘法加括号

  对于连乘(a_1*a_2*a_3*···*a_n)，可以通过加括号改变它的运算顺序，求有多少种运算顺序。

  我们考虑把每一个数和符号都作为二叉树的节点，保证每个数都是二叉树的叶子节点，那么每次就是选择一个(*)使得左边形成一棵二叉树，右边一棵。相当于把求的顺序分为前(pos)个和后(pos)个分开处理，答案也就是二叉树计数。

例4 欧拉多边形的划分

  给出凸(n)边形的边数，求有多少种分法可以把这个多边形分成互不重叠的(n-2)个三角形。

  我们假定已经选择了一条边，那么一这条边必定会形成一个三角形的一边，而这个三角形也把这个多边形分成了两个多边形，我们设(H_n)为(n)边形的分割数，那么容易得到：

[H_n=H_{n-1}+H_3H_{n-2}+···+H_{n-2}H_3+H_{n-1} ]

  我们再假设确定了一条对角线，把(n)边形分成两个多边形，边数之和为(n+2)，而从一个顶点出发的(n-3)条对角线所形成的分割数为:(H_3H_{n-1}+H_4H_{n-2}+···+H_4H_{n-2}+H_3H_{n-1}),由于一条对角线有两个端点，重复计数两次，而每个分割实际重复统计了(n-3)次，所以从所有顶点出发的n边形划分数为：

[(n-3)H_n=frac{n(H_3H_{n-1}+H_4H_{n-2}+···+H_4H_{n-2}+H_3H_{n-1})}{2} ]

  联立两个式子得到：

[H_{n+1}=(frac{4n-6}{n})H_n ]

  而这也是(Catalan)数的公式之一，所以可知(H_n=Cat_{n-2})