10I:核电站

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描述

一个核电站有N个放核物质的坑，坑排列在一条直线上。如果连续M个坑中放入核物质，则会发生爆炸，于是，在某些坑中可能不放核物质。

任务：对于给定的N和M，求不发生爆炸的放置核物质的方案总数

输入

只一行，两个正整数N，M( 1 < N < 50，2 ≤ M ≤ 5 )

输出

一个正整数S，表示方案总数。

样例输入

4 3

样例输出

13

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n, m;
long long d[51][6];
int main(){
    cin>>n>>m;
    //d(i,j)表示从1放到第i个坑，且最后i-j+1到i个坑连续放了j个炸弹的方案数
    //最后结果是d[n][0]+……+d[n][m-1]
    d[1][0] = 1; d[1][1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        for(int j = 0; j < m; j++){
            if(j) d[i][j] = d[i-1][j-1];
            else{
                for(int k = 0; k < m; k++)
                    d[i][j] += d[i-1][k];
            }
        }
    }
    long long ans = 0;
    for(int i = 0; i < m; i++)
        ans+=d[n][i];
    cout<<ans<<endl;
     return 0;
}

备注：这道题还挺有意思的！这个思路也基本算是自己想出来了,包括的状态的定义和边界条件、最终解！但还是差了一点，没能坚持想下去，没能想到分j=0和j≠0两种情况来考虑！

我的思考过程是这样的：很容易想到，用d[i]来表示考虑前i个坑放置炸弹的方案数，但发现仅凭这个状态没有办法转移，因为还有不能连续放m个的要求。比如说考虑d[i+1]的时候，你也不知道前i个是咋放的，因此也就不能确定第i+1个坑是否能放炸弹。

然后我就想到，再加一个维度来记录，最后几个坑位连续放了j个炸弹这种情况，也就是说

d(i,j)表示从1放到第i个坑，且最后i-j+1到i个坑连续放了j个炸弹的方案数

这样我就可以知道第i个坑能不能放炸弹了！关键在于转移过程，我没能想到j分为=0和>0两种情况，关键还是对自己的思考不自信。实际上，如果j>0的话，那就要求是在d[i][j-1]的基础上放，而且第i个坑一定要放炸弹，这样才是连续放了j个，因此d[i][j]=d[i-1][j-1]，那么对于=0的情况才是关键，=0的话就相当于第i个坑一定不放炸弹，那么前面就无所谓了，所以是d[i-1][k]，k从0到m-1的加总。

注意答案和数组类型都要是long long！！

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一维利用容斥原理也是可以解的！关键就在于i的分类讨论。思路如下：

#include<cstdio>
long long  dp[55];
int main()
{
    int n,m,i;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    dp[0]=1;
    for (i=1;i<=n;i++)
        if (i==m) dp[i]=dp[i-1]*2-1;     //减掉都放。 
        else
        if (i<m) dp[i]=dp[i-1]*2;        //随便放不会炸。 
        else dp[i]=dp[i-1]*2-dp[i-m-1];
        /*后m个固定放时前面的有dp[i-m]种放法，这些放法中都不可取。
        但是这些放法中包含了第(i-m)放与不放两种可能，第(i-m)放的可能在(i-1)中就已排除，所以只需再排除不放的情况，即dp[i-m-1]。*/ 
    printf("%lld",dp[n]);
    return 0;
}