第三次作业

参考书《数据压缩导论（第4版）》  Page 100

 5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签。

            

    解：

        又题意得：求序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签相当于求序列113231的标签

        则：设定随机变量X(a_i)=i，那么P(a_i)=P(X=i)

              P(a₁)=P(X=1)=0.2，P(a₂)=P(X=2)=0.3，P(a₃)=P(X=3)=0.5

        由此可得：F_X(1)=P(X=1)=0.2, F_X(2)=P(X=1)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5, F_X(3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.3+0.5=1

                      l⁽⁰⁾=0,u⁽⁰⁾=1

        可根据公式：

                            l^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))*F_x(X_k-1)

                            u^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))*F_x(X_k)

               可得：

                      1             l⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(0)=0+(1-0)*0=0

                                     u⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(1)=0+(1-0)*0.2=0.2

                                       

                      11            l⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(0)=0+(0.2-0)*0=0

                                     u⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(1)=0+(0.2-0)*0.2=0.04

                                     

                      113           l⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(2)=0+(0.04-0)*0.5=0.02

                                      u⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(3)=0+(0.04-0)*1 =0.04

                                         

                      1132          l⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(1)=0.02+(0.04-0.02)*0.2=0.024

                                       u⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(2)=0.02+(0.04-0.02)*0.5 =0.03

                                         

                      11323         l⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(2)=0.024+(0.03-0.024)*0.5=0.027

                                        u⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(3)=0.024+(0.03-0.024)*1=0.03

                                         

                      113231        l⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(0)=0.027+(0.03-0.027)*0=0.027

                                         u⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(1)=0.027+(0.03-0.027)*0.2=0.0276

                      因此，该序列的实值标签为：

                                                            T_x(113231)= ( u⁽⁶⁾ + l⁽⁶⁾   )/2

                                                                            =(0.0276+0.027)/2

                                                                            =0.0273

6、对于表4-9所示的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

 解：此题可编程实现，代码如下

#include<stdio.h>

int main()
{
　　int a[10];
　　double t,F[100];
　　F[0]=0,F[1]=0.2,F[2]=0.5,F[3]=1;
　　double l[100]={0.0},u[100]={1.0};
　　double tag=0.63215699;
　　int n=10,k;
　　for(k=1;k<=10;k++)
　　{
　　　　t=(tag-l[k-1])/(u[k-1]-l[k-1]);
　　　　if(t>F[0]&&t<F[1])
　　　　{
　　　　　　l[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[0];
　　　　　　u[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[1];
　　　　　　a[k]=1;
　　　　}
　　　　else
　　　　　　if(t>F[1]&&t<F[2])
　　　　　　{
　　　　　　　　l[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[1];
　　　　　　　　u[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[2];
　　　　　　　　a[k]=2;
　　　　　　}
　　　　　　else
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　l[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[2];
　　　　　　　　　　u[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[3];
　　　　　　　　　　a[k]=3;
　　　　　　　　}
　　　　printf("%d ",a[k]);

　　}
　　return 0;
}

调试结果如下：

　　　　　

此题还可以通过计算得到：

　　　　　　刚开始时l⁽⁰⁾=0，u⁽⁰⁾=1

　　　　　　则

　　　　　　　l⁽¹⁾=0+(1-0)F_x(x₁-1)=F_x(x₁-1)

　　　　　　　u⁽¹⁾=0+(1-0)F_x(x₁)=F_x(x₁) 

通过计算，当x₁=3时，该区间为[0.5,1)，而0.63215699在区间[0.5,1)中，所以x₁=3

　　　　　　　l⁽²⁾=0.5+(1-0.5)F_x(x₂-1)=0.5+0.5F_x(x₂-1)

　　　　　　　u⁽²⁾=0.5+(1-0.5)F_x(x₂)=0.5+0.5F_x(x₂) 

通过计算，当x₂=2时，该区间为[0.6,0.75)，而0.63215699在区间[0.6,0.75)中，所以x₂=2

　　　　　　　l⁽³⁾=0.5+(0.75-0.6)F_x(x₃-1)=0.6+0.15F_x(x₃-1)

　　　　　　　u⁽³⁾=0.5+(0.75-0.6)F_x(x₃)=0.6+0.15F_x(x₃) 

通过计算，当x₃=2时，该区间为[0.63,0.675)，而0.63215699在区间[0.63,0.675)中，所以x₃=2

　　　　　　　l⁽⁴⁾=0.63+(0.675-0.625)F_x(x₄-1)=0.63+0.045F_x(x₄-1)

　　　　　　　u⁽⁴⁾=0.63+(0.675-0.625)F_x(x₄)=0.63+0.045F_x(x₄)

通过计算，当x₄=1时，该区间为[0.63，0.639)，而0.63215699在区间[0.63，0.639)中，所以x₄=1

　　　　　　　l⁽⁵⁾=0.63+(0.639-0.63)F_x(x₅-1)=0.63+0.009F_x(x₅-1)

　　　　　　　u⁽⁵⁾=0.63+(0.639-0.63)F_x(x₅)=0.63+0.009F_x(x₅)

通过计算，当x₅=2时，该区间为[0.6318,0.6345)，而0.63215699在区间[0.6318,0.6345)中，所以x₅=2

　　　　　　　l⁽⁶⁾=0.6318+(0.6345-0.6318)F_x(x₆-1)=0.6318+0.0027F_x(x₆-1)

　　　　　　　u⁽⁶⁾=0.6318+(0.6345-0.6318)F_x(x₆)=0.6318+0.0027F_x(x₆)

通过计算，当x₆=1时，该区间为[0.6318,0.63234)，而0.63215699在区间[0.6318,0.63234)中，所以x₆=1

　　　　　　　l⁽⁷⁾=0.6318+(0.63234-0.6318)F_x(x₇-1)=0.6318+0.00054F_x(x₇-1)

　　　　　　　u⁽⁷⁾=0.6318+(0.63234-0.6318)F_x(x₇)=0.6318+0.00054F_x(x₇)

通过计算，当x₇=3时，该区间为[0.63207,0.63234)，而0.63215699在区间[0.63207,0.63234)中，所以x₇=3

　　　　　　　l⁽⁸⁾=0.63207+(0.63234-0.63207)F_x(x₈-1)=0.63207+0.00027F_x(x₈-1)

　　　　　　　u⁽⁸⁾=0.63207+(0.63234-0.63207)F_x(x₈)=0.63207+0.00027F_x(x₈)

通过计算，当x₈=2时，该区间为[0.632124,0.632205)，而0.63215699在区间[0.632124,0.632205)中，所以x₈=2

　　　　　　　l⁽⁹⁾=0.632124+(0.632205-0.632124)F_x(x₉-1)=0.632124+0.000081F_x(x₉-1)

　　　　　　　u⁽⁹⁾=0.632124+(0.632205-0.632124)F_x(x₉)=0.632124+0.000081F_x(x₉)

通过计算，当x₉=2时，该区间为[0.6321402,0.6321645)，而0.63215699在区间[0.6321402,0.6321645)中，所以x₉=2

　　　　　　　l⁽¹⁰⁾=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)F_x(x₁₀-1)=0.6321402+0.00006243F_x(x₁₀-1)

　　　　　　　u⁽¹⁰⁾=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)F_x(x₁₀)=0.6321402+0.00006243F_x(x₁₀)

通过计算，当x₁₀=3时，该区间为[0.63215235.0.6321645)，而0.63215699在区间[0.63215235.0.6321645)中，所以x₁₀=3

              所以该序列解码得：

                                        3221213223