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  • HAOI2018 苹果树

    题目链接:戳我

    代码不难写,我在这里就口胡一下解法好了。。。。

    首先我们考虑如何求出一棵树上两两点之间的距离呢?由于树,我们可以转化为求边的贡献。那么从这一条边断成两半,一边是它连接的节点的子树,一边是剩余的节点,它对总值的贡献就是(siz[i]*(n-siz[i]))了。

    假设当前处理到了节点(i),那么显然当前树的构建方案有(i!)种,之后的节点有两种选择,一种是连接到这个节点的子树中,一种不是。

    先来考虑第一种,假设这个节点的子树大小(排除掉他自己)是(k),那么这(k)个节点的选择方案有(C_{n-i}^k)种,然后再乘上构树方案数(k!)(二叉树的构建种类数,不理解的可以画图qwq),答案就是(C_{n-i}^k*k!)

    现在再来考虑第二种,因为我们已经有了(k)个节点到节点i的子树里面了,所以现在还有(n-i-k)个节点,它们就不能再放进i的子树中了。方案数为(i imes (i-1) imes ... imes (i+n-i-k-1)),所以答案就是(frac{(n-k-1)!}{(i-1)!})种。

    最后别忘了当前点i与我们考虑生成的它的子树和它的连边方式,还有连成左儿子和右儿子两种,所以还要乘上2 qwq。

    总答案(sum_{i=1}^n i!*2*sum_{k=1}^{n-i}size*(n-size)*C_{n-i}^k*k!*frac{(n-k-1)!}{(i-1)!})

    看题解大佬说这道题的分割考虑思想,其实是序列问题上一种很常见的套路,就是找一个点或者边作为分界,然后两边算完之后乘起来就是答案qwq

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