快速寻找满足条件的两个数

2012-04-18 16:41

2.12快速寻找满足条件的两个数---程序员编程艺术之五

第一节、寻找满足条件的两个数
第14题（数组）：
题目：输入一个数组和一个数字，在数组中查找两个数，使得它们的和正好是输入的那个数字。
要求时间复杂度是O(n)。如果有多对数字的和等于输入的数字，输出任意一对即可。
例如输入数组1、2、4、7、11、15和数字15。由于4+11=15，因此输出4和11。

分析：

咱们试着一步一步解决这个问题（注意阐述中数列有序无序的区别）：

1. 直接穷举，从数组中任意选取两个数，判定它们的和是否为输入的那个数字。此举复杂度为O（N^2）。很显然，我们要寻找效率更高的解法。
2. 题目相当于，对每个a[i]，然后查找判断sum-a[i]是否也在原始序列中，每一次要查找的时间都要花费为O（N），这样下来，最终找到两个数还是需要O（N^2）的复杂度。那如何提高查找判断的速度列?对了，二分查找，将原来O（N）的查找时间提高到O（logN），这样对于N个a[i]，都要花logN的时间去查找相对应的sum-a[i]是否在原始序列中，总的时间复杂度已降为O（N*logN），且空间复杂度为O（1）。（如果有序，直接二分O（N*logN），如果无序，先排序后二分，复杂度同样为O（N*logN+N*logN）=O（N*logN），空间总为O（1））。
3. 有没有更好的办法列?咱们可以依据上述思路2的思想，a[i]在序列中，如果a[i]+a[k]=sum的话，那么sum-a[i]（a[k]）也必然在序列中，，举个例子，如下：
   原始序列：1、 2、 4、 7、11、15     用输入数字15减一下各个数，得到对应的序列为：
   对应序列：14、13、11、8、4、 0      
   第一个数组以一指针i 从数组最左端开始向右扫描，第二个数组以一指针j 从数组最右端开始向左扫描，如果下面出现了和上面一样的数，即a[*i]=a[*j]，就找出这俩个数来了。如上，i，j最终在第一个，和第二个序列中找到了相同的数4和11，，所以符合条件的两个数，即为4+11=15。怎么样，两端同时查找，时间复杂度瞬间缩短到了O（N），但却同时需要O（N）的空间存储第二个数组（@飞羽：要达到O(N)的复杂度，第一个数组以一指针i 从数组最左端开始向右扫描，第二个数组以一指针j 从数组最右端开始向左扫描，首先初始i指向元素1，j指向元素0，谁指的元素小，谁先移动，由于1（i）>0（j），所以i不动，j向左移动。然后j移动到元素4发现大于元素1，故而停止移动j，开始移动i，直到i指向4，这时,i指向的元素与j指向的元素相等，故而判断4是满足条件的第一个数；然后同时移动i,j再进行判断，直到它们到达边界）。
4. 当然，你还可以构造hash表，正如编程之美上的所述，给定一个数字，根据hash映射查找另一个数字是否也在数组中，只需用O（1）的时间，这样的话，总体的算法通上述思路3 一样，也能降到O（N），但有个缺陷，就是构造hash额外增加了O（N）的空间，此点同上述思路 3。不过，空间换时间，仍不失为在时间要求较严格的情况下的一种好办法。
5. 如果数组是无序的，先排序（n*logn），然后用两个指针i，j，各自指向数组的首尾两端，令i=0，j=n-1，然后i++，j--，逐次判断a[i]+a[j]?=sum，如果某一刻a[i]+a[j]>sum，则要想办法让sum的值减小，所以此刻i不动，j--，如果某一刻a[i]+a[j]<sum，则要想办法让sum的值增大，所以此刻i++，j不动。所以，数组无序的时候，时间复杂度最终为O（n*logn+n）=O（n*logn），若原数组是有序的，则不需要事先的排序，直接O（n）搞定，且空间复杂度还是O（1），此思路是相对于上述所有思路的一种改进。（如果有序，直接两个指针两端扫描，时间O（N），如果无序，先排序后两端扫描，时间O（N*logN+N）=O（N*logN），空间始终都为O（1））。（与上述思路2相比，排序后的时间开销由之前的二分的n*logn降到了扫描的O（N））。

总结：

• 不论原序列是有序还是无序，解决这类题有以下三种办法：1、二分（若无序，先排序后二分），时间复杂度总为O（n*logn），空间复杂度为O（1）；2、扫描一遍X-S[i]  映射到一个数组或构造hash表，时间复杂度为O（n），空间复杂度为O（n）；3、两个指针两端扫描（若无序，先排序后扫描），时间复杂度最后为：有序O（n），无序O（n*logn+n）=O（n*logn），空间复杂度都为O（1）。
• 所以，要想达到时间O（N），空间O（1）的目标，除非原数组是有序的（指针扫描法），不然，当数组无序的话，就只能先排序，后指针扫描法或二分（时间n*logn，空间O（1）），或映射或hash（时间O（n），空间O（n））。时间或空间，必须牺牲一个，自个权衡吧。
• 综上，若是数组有序的情况下，优先考虑两个指针两端扫描法，以达到最佳的时（O（N）），空（O（1））效应。否则，如果要排序的话，时间复杂度最快当然是只能达到N*logN，空间O（1）则是不在话下。

public static int i = -1;public static int j = -1;void FindSum(int[] arr,n){int p=0,q=n-1;while(p<q){if((arr[p] + arr[q]) == sum){i = p;j = q;return;}else if ((arr[p] + arr[q])>sum)q--;else p++;}

}

 

第二节、寻找满足条件的多个数
第21题（数组）
2010年中兴面试题
编程求解：
输入两个整数 n 和 m，从数列1，2，3.......n 中随意取几个数,
使其和等于 m ,要求将其中所有的可能组合列出来。

#include<list>  

#include<iostream> 

using namespace std;  

  

list<int>list1;  

void find_factor(int sum, int n)   

{  

    // 递归出口  

    if(n <= 0 || sum <= 0)  

        return;  

      

    // 输出找到的结果  

    if(sum == n)  

    {  

        // 反转list  

        list1.reverse();  

        for(list<int>::iterator iter = list1.begin(); iter != list1.end(); iter++)  

            cout << *iter << " + ";  

        cout << n << endl;  

        list1.reverse();      

    }  

      

    list1.push_front(n);      //典型的01背包问题  

    find_factor(sum-n, n-1);   //放n，n-1个数填满sum-n  

    list1.pop_front();  

    find_factor(sum, n-1);     //不放n，n-1个数填满sum   

}  

  

int main()  

{  

    int sum, n;  

    cout << "请输入你要等于多少的数值sum:" << endl;  

    cin >> sum;  

    cout << "请输入你要从1.....n数列中取值的n：" << endl;  

    cin >> n;  

    cout << "所有可能的序列，如下：" << endl;  

    find_factor(sum,n);  

    int t;

    cin>>t;

    return 0;  

}  

 

题目的大概意思是：快速找出在一个数组内的两个数，让这两个数之和等于一个给定的值。书中给出的解法三觉得应该是(NlogN）复杂度中比较快的，但这种解法为什么完备还要仔细推导一下才知道。因为是找两个数之和，解法二还可以再优化。排序后可以把数组分成两段，以和的一半作为分割点，这样就在二分查找时只需找出前半部分的Sum-arr[i]是否在后半部分中。我用SLT的binary_search实现了一下，但是此法由于排序，只能返回具体的解，如果返回解在原数组中的位置，那要复杂得多。

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1. //给定条件为SUM()=10  
2. #include<iostream>  
3. using namespace std;  
4. #include<vector>  
5. #include<algorithm>  
6. const int maxN=1000;  
7. int solv=0;  
8. class list  
9. {  

10. private:  

1. 11.     vector<int> v;  
2. 12.     int n;  
3. 13.     vector<int>::iterator cutPoint;  

14. public:  

1. 15.     list(int a[],int n1)  
2. 16.     {  
3. 17.         n=n1;  
4. 18.         for(int i=0;i<n;i++)  
5. 19.             v.push_back(a[i]);  
6. 20.     }  
7. 21.     //获得分割点  
8. 22.     void GetCutPoint()  
9. 23.     {  
10. 24.         sort(v.begin(),v.end());  
11. 25.         cutPoint=v.begin();  
12. 26.         for(vector<int>::iterator it=v.begin();it!=v.end();it++)  
13. 27.         {  
14. 28.             if(*it>=5)  
15. 29.             {  
16. 30.                 cutPoint=++it;  
17. 31.                 break;  
18. 32.             }  
19. 33.         }  
20. 34.     }  
21. 35.     bool search ( )  
22. 36.     {  
23. 37.           
24. 38.         for(vector<int>::iterator it=v.begin();it!=cutPoint;it++)  
25. 39.         {  
26. 40.             int val=10-*it;  
27. 41.             bool result=binary_search(cutPoint,v.end(),val);  
28. 42.             if(result)  
29. 43.             {  
30. 44.                 solv=val;  
31. 45.                 return true;  
32. 46.             }  
33. 47.         }  
34. 48.         return false;  
35. 49.     }  

50. };  

51. int main()  

52. {  

1. 53.     int a[]={5,6,7,4,7,9,8};  
2. 54.     list list1(a,7);  
3. 55.     list1.GetCutPoint();  
4. 56.       
5. 57.     if(list1.search())  
6. 58.     {  
7. 59.         cout<<"find it:"<<solv<<" "<<10-solv<<endl;  
8. 60.     }  
9. 61.     else   
10. 62.     {  
11. 63.         cout<<"not find"<<endl;  
12. 64.     }  
13. 65.     system("pause");  
14. 66.     return 1;  

67. }