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  • 20152016-acmicpc-neerc-northern-subregional-contest J:Journey to the "The World's Start"(单调队列+DP+二分)

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    题意:给出n-1张不同的票,票价分别为 pi,每张票每次最多可以坐 r 个站(1<=r<n),并且票是可以无限用并且只能买一张,如果坐到限定的距离了,要出站再重新进站,这里要花费 di 的时间(2<=i<=n-1),并且每坐一个站花费 1 min,一个人坐地铁要从第一个站坐到最后一个站,问在规定时间 t 里面可以买到的最低票价是多少。

    思路:首先可以确定的是,我们对票价都要进行一次DP,我自己推出的方程是dp[i] = min(dp[i], (dp[i-j] + j) + time[i]),(1<=j<=r),接着发现无论怎么样,那个人肯定要坐 n-1 个站,所以直接让 t 减去 n - 1,然后方程变成dp[i] = min(dp[i], dp[i-j]+time[i]),这样的话DP时间复杂度还是O(n^2)。

    由于是 f[k] + g[i] 型的 dp(只有形如 dp[i]=max/min (f[k]) + g[i]  (k<i && g[i]是与k无关的变量)才能用到单调队列进行优化。),我们可以使用单调队列来优化这个DP,化成dp[i] = min(dp[i], dp[que[head]] + time[i])这样的形式。这样优化之后时间复杂度就直接变成了O(n)了。

    只有这样还是不够的,因为我们要枚举每种票,通过题意可以发现每种票的距离 r 是递增的,因此我们可以通过二分搜索来枚举,这样复杂度就变成了O(nlogn)了,还有一点就是可能一种票的路程比搜索出来的临界值大,但是价格较小,我们应该枚举一下后面的取较小者。

     1 #include <cstdio>
     2 #include <cstring>
     3 #include <iostream>
     4 #include <algorithm>
     5 #include <cmath>
     6 #include <map>
     7 #include <cstdlib>
     8 typedef long long LL;
     9 using namespace std;
    10 #define N 50005
    11 #define INF 0x3f3f3f3f3f
    12 //单调队列优化DP + 二分搜索
    13 LL price[N];
    14 LL time[N];
    15 LL dp[N];
    16 int que[N];
    17 int n, t;
    18 
    19 bool solve(int r)
    20 {
    21     if(r == 0) return false;
    22     dp[1] = 0;
    23     int head = 1, tail = 0;
    24     que[++tail] = 1;
    25     for(int i = 2; i <= n; i++) {
    26         dp[i] = dp[que[head]] + time[i];
    27         // 如果队尾的时间大于当前时间,就删除,然后把当前的站插入
    28         while(head <= tail && dp[que[tail]] >= dp[i])
    29             tail--;
    30         que[++tail] = i;
    31         // 当前距离和之前的距离不能超过 r
    32         while(head <= tail && i - que[head] >= r)
    33             head++;
    34     }
    35     if(dp[n] > t) return false;
    36     return true;
    37 }
    38 
    39 int main()
    40 {
    41 //    freopen("journey.in", "r", stdin);
    42 //    freopen("journey.out", "w", stdout);
    43     scanf("%d%d", &n, &t);
    44     for(int i = 1; i < n; i++)
    45         scanf("%I64d", &price[i]);
    46     for(int i = 2; i <= n-1; i++)
    47         scanf("%I64d", &time[i]);
    48     //总共坐n-1个站要n-1 min
    49     t -= n-1;
    50     int l = 0, r = n - 1;
    51     while(l <= r) {
    52         int mid = (l+r) / 2;
    53         if(solve(mid)) {
    54             r = mid - 1;
    55         } else {
    56             l = mid + 1;
    57         }
    58     }
    59 
    60     int ans = price[l];
    61     for(int i = l + 1; i < n; i++)
    62         if(price[i] < ans) ans = price[i];
    63 
    64     printf("%d
    ", ans);
    65 
    66     return 0;
    67 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/fightfordream/p/5730107.html
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