浅析Nim游戏（洛谷P2197）

首先我们看例题：P2197 nim游戏

题目描述

甲，乙两个人玩Nim取石子游戏。

nim游戏的规则是这样的：地上有n堆石子（每堆石子数量小于10000），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这n堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数T<=10,表示有T组数据

接下来每两行是一组数据，第一行一个整数n，表示有n堆石子，n<=10000;

第二行有n个数，表示每一堆石子的数量

输出格式：

共T行，如果对于这组数据存在先手必胜策略则输出"Yes",否则输出"No"，不包含引号，每个单词一行。

输入输出样例

输入样例#1： 

2
2
1 1
2
1 0

输出样例#1： 

No
Yes

讲解：
本题就是最最经典的nim游戏了。nim游戏过程中面临的状态叫做局面，第一个行动的为先手，第二个行动的为后手。考虑两人无比聪明，则必败局面仅当该局面所能到达的局面均为必败局面时出现，而必胜局面仅当后续局面存在至少1个必胜局面时出现，显然nim游戏中1为必胜局面（因为拿走1就赢了）。显然，nim游戏是不存在平局的，只有先手必赢或先手必输两种情况。

 

定理：设各堆为a1、a2…an，则nim游戏先手必赢仅当a1 Xor a2 Xor…Xor an≠0.

证明：

　　首先，当石子均被取完时，则a数组都为0，存在a1 Xor a2 Xor…Xor an=0，因为每次取都会使石子数减少，当前局面若a1 Xor a2 Xor…Xor an≠0，我们只要保证能在取走一些石子后使得a1 Xor a2 Xor…Xor an=0，则必然保证自己能取走最后一个石子获得胜利。

　　等价于证明：

　　（1）当a1 Xor a2 Xor…Xor an≠0时，存在某种取法使得剩下的石子xor和为0。

　　（2）当a1 Xor a2 Xor…Xor an=0时，不存在取法使得剩下的石子xor和为0。（即取走一些石子后必定Xor和不为0）

　　首先证明（1），对于任何一个局面a1 Xor a2 Xor…Xor an=x≠0，设x的二进制最高位的1在第k位，则至少存在一堆石子ai的二进制第k位是1（因为我们是Xor运算，某一位上的1不会凭空出现）且ai≥x。由Xor运算法则知：x Xor ai<ai，（因为至少会使第k为上的1变为0）。于是我们从ai这堆里取走一些石子，使得ai堆剩下的石子数变为ai Xor x，此时再对剩下的各堆进行上述运算：a1 Xor a2 Xor…ai Xor x…Xor an=x Xor x=0，此时Xor和为0。 于是得证（1）。

　　再来证明（2），对于任何一个局面a1 Xor a2 Xor…Xor ai Xor…an=0，我们反证：假设取走ai堆中的一些石子使ai变为了x，使得a1 Xor a2 Xor…Xor x Xor…an≠0，则显然是不可能的，因为开始Xor和就为0再由Xor运算的性质当ai变为x后若Xor和为0，当且仅当ai=x时成立。而nim游戏中不能不取，所以若当前局面Xor和为0,则必然会使下一局面Xor和不为0。于是（2）得证。

结论：nim游戏只要满足先手的Xor和不为0，则先手必赢，否则先手必输。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
using namespace std;
il ll gi()
{
    ll a=0;char x=getchar();bool f=0;
    while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar();
    if(x=='-')x=getchar(),f=1;
    while(x>='0'&&x<='9')a=a*10+x-48,x=getchar();
    return f?-a:a;
}
ll t,n,a[100005];
int main()
{
    t=gi();
    while(t--){
        n=gi();ll x=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=gi(),x^=a[i];
        if(x)puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    return 0;
}