【JZOJ4229】学习神技【数论，数学】

题目大意：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/4229
求首项为$a_1$，公比为$q$，项数为$n$的等比数列的和。

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思路：

众所周知，$n-1$项的等比数列和的公式是
$left{egin{matrix} frac{a_1 imes (q^n-1)}{q-1}(q eq 1) \ a_1 imes n(q=1)end{matrix} ight.$

证明：
若这个等比数列为$a_1+a_1 imes q^1+a_1 imes q^2+...+a_1 imes q^n$
设$S=a_1+a_1 imes q^1+a_1 imes q^2+...+a_1 imes q^n$
则$qS=a_1 imes q^1+a_1 imes q^2+...+a_1 imes q^n+a_1 imes q^{n+1}$
相减得$qS-S=a_1 imes q^1+a_1 imes q^2+...+a_1 imes q^n+a_1 imes q^{n+1}-a_1-a_1 imes q^1-a_1 imes q^2-...-a_1 imes q^n$
简化得$(q-1)S=a_1 imes q^{n+1}-a_1$
移向得$S=frac{a_1 imes (q^{n+1}-a_1)}{q-1}$
证毕。

利用快速幂计算$q^n$，再用逆元求答案即可。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll MOD=1000000007ll;
int T;
ll n,q,a,k,Read,ans;
char ch;

ll read()
{
	Read=0;
	ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9')
		Read=(Read<<3)+(Read<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return Read;
}

void write(ll x)
{
	if (x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}

ll power(ll x,ll m)  //快速幂
{
	ll ans=1;
	while (m)
	{
		if (m&1) ans=ans*x%MOD;
		x=x*x%MOD;
		m>>=1;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	T=read();
	while (T--)
	{
		a=read(),q=read(),n=read();
		if (q==1) write(a*(n%MOD)%MOD);  //特判
		else
		{
			k=power((q-1)%MOD,MOD-2);  //求逆元
			ans=a%MOD*(power(q%MOD,n)-1)%MOD*k%MOD;
			write(ans);
		}
		putchar(10);
	}
	return 0;
}