P2053 [SCOI2007]修车

题目描述

同一时刻有N位车主带着他们的爱车来到了汽车维修中心。维修中心共有M位技术人员，不同的技术人员对不同的车进行维修所用的时间是不同的。现在需要安排这M位技术人员所维修的车及顺序，使得顾客平均等待的时间最小。

说明：顾客的等待时间是指从他把车送至维修中心到维修完毕所用的时间。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个数M,N，表示技术人员数与顾客数。

接下来n行，每行m个整数。第i+1行第j个数表示第j位技术人员维修第i辆车需要用的时间T。

输出格式：

最小平均等待时间，答案精确到小数点后2位。

输入输出样例

输入样例#1： 

2 2
3 2
1 4

输出样例#1： 

1.50

说明

(2<=M<=9,1<=N<=60), (1<=T<=1000)

Solution：

　　本题贼有意思的费用流。

　　题意要使平均等待时间最小，等价于使等待时间总和最小。　　

　　考虑一个修理工处理这n辆车，设n辆车处理顺序为$a_1,a_2…a_n$，则等待总时间$=w_1*n+w_2*(n-1)+…w_n*1$，不难发现每辆车在每个修理工处都会有$n$种不同贡献的状态，且每个状态最多只能修一辆车，这样的带权有上下界限制的问题（数据范围还OK），当然就是费用流模型啦。

　　我们建立一个完全二分图，$n$辆车作为左部，将$m$个修理工，每个都拆成$n$个点，作为右部，表示该修理工的每次修理状态，由每辆车向每个修理工的不同状态连权值$1$费用$w_i*k$的边。

　　附加源点和汇点，跑最小费用最大流就好了。

　　时间复杂度：因为$n$次增广，每次增广最多访问$n^2*m$条边，实际上spfa还有常数$k$，所以最坏$O(k*m^2*n^2)$（反正能过就行~^-^~，分析这个是为本题加强版做铺垫）。

代码：

/*Code by 520 -- 8.27*/
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
#define debug printf("%d %s
",__LINE__,__FUNCTION__)
using namespace std;
const int N=100005,inf=233333333;
int s,t,n,m,maxn[N],pre[N],dis[N];
int to[N],net[N],w[N],c[N],h[N],cnt=1;
int maxf,maxc;
bool vis[N];

il void add(int u,int v,int fl,int co){
    to[++cnt]=v,net[cnt]=h[u],w[cnt]=fl,c[cnt]=co,h[u]=cnt;
    to[++cnt]=u,net[cnt]=h[v],w[cnt]=0,c[cnt]=-co,h[v]=cnt;
}

queue<int>q;
il bool spfa(){
    For(i,1,t) dis[i]=inf;
    dis[s]=0,maxn[s]=inf,q.push(s);
    while(!q.empty()){
        RE int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        for(RE int i=h[u];i;i=net[i])
            if(dis[to[i]]>dis[u]+c[i]&&w[i]){
                dis[to[i]]=dis[u]+c[i],pre[to[i]]=i,
                maxn[to[i]]=min(maxn[u],w[i]);
                if(!vis[to[i]]) vis[to[i]]=1,q.push(to[i]);
            }
    }
    return dis[t]!=inf;
}

il void update(){
    int p=t;
    while(p!=s){
        RE int i=pre[p];
        w[i]-=maxn[t],w[i^1]+=maxn[t];
        p=to[i^1];
    }
    maxf+=maxn[t],maxc+=maxn[t]*dis[t];
}

il void init(){
    scanf("%d%d",&m,&n),t=n*m+n+1;
    For(i,1,n) {
        add(s,i,1,0);
        For(j,1,m) {
            RE int p;scanf("%d",&p);
            For(k,1,n) add(i,j*n+k,1,k*p);
            add(j*n+i,t,1,0);
        }
    }
    while(spfa())update();
    printf("%.2lf",maxc*1.0/n);
}

int main(){
    init();
    return 0;
}