洛谷P1776 宝物筛选_NOI导刊2010提高（02）（多重背包，单调队列）

为了学习单调队列优化DP奔向了此题。。。

基础的多重背包就不展开了。设(f_{i,j})为选前(i)个物品，重量不超过(j)的最大价值，(w)为重量，(v)为价值（蒟蒻有强迫症，特别不喜欢把(v)和(w)反着搞，(weight)和(value)嘛！），直接给转移方程

[f_{i,j}=max{f_{i-1,j-kw_i}+kv_i},kin[0,min{m,lfloor frac j{w_i} floor}] ]

显然，(f_i)都是从(f_{i-1})转过来的，所以第一维可以滚掉，得到每次转移的更简化的方程

[f_j=max{f_{j-kw}+kv} ]

这样是(O(nmW))的，还是要想办法优化。

众所周知，DP优化的根本原则是去掉无用的状态、利用重复转移的状态。可是这方程一眼根本看不出什么可优化的地方啊。。。。。。

我们要像这位Dalao一样善于发现，他的blog

所以，不管这个想法是怎么来的，我们先把(j)按模(i)意义下分组，设(j=k_1w+d)，那么一组里的(d)都是同一个值。

然后方程就变成了这样

[f_j=max{f_{k_1w+d-kw}+kv} ]

[qquadqquadquad=max{f_{(k_1-k)w+d}-(k_1-k)v}+k_1v ]

突然看到了(k_1-k)的重复出现！这也就意味着，在每一组中，有意义的状态只有(lfloorfrac{W-d}w floor)种！（(W)是最大载重）每次总的状态也就只有(O(W))了。

设(g_k=f_{kw+d}-kv)。那么因为有(m)的限制，所以对于每个(k_1)，我们需要且只能从(max{g_k|kin[max{0,k_1-m},k_1]})转移。对于这样的转移，可以形象地和滑动窗口联系一下，相当于有一个宽度为(m)的窗口从一边一步步往另一边移动，每移一次都要取出窗口内的最大值。这个就上单调队列维护。

首先枚举(d)。接着，为了方便滚动，我们从大到小枚举(k)和(k_1)，用一个单调队列维护下标在([k_1-m,k_1])范围内的依次递减的若干个(g)值，因为显然如果有(g_xgeq g_y,x<y)的话(g_y)是没有用的。枚举(k_1)时，每次队首元素超出了范围就把它出队。用现在的队首更新(f_j)即(f_{k_1w+d})。接着下一个元素(g_{k_1-m-1})要入队了，把队尾(g)比这个小的全出队，再让它进来。最后输出(f_W)即可。

这样就是(O(nW))的了，比二进制拆分难理解些但是更优秀了。

结合代码理解会更轻松哦

#include<cstdio>
#define RG register
#define R RG int
#define G c=getchar()
const int N=1e5+9;
int f[N],g[N],q[N];
inline int in(){
	RG char G;
	while(c<'-')G;
	R x=c&15;G;
	while(c>'-')x=x*10+(c&15),G;
	return x;
}
inline int max(R x,R y){return x>y?x:y;}
inline void chkmx(R&x,R y){if(x<y)x=y;}
int main(){
	R n=in(),maxw=in(),maxk,lim,v,w,m,d,i,k,k1,h,t,now;
	for(i=1;i<=n;++i){
		v=in();w=in();m=in();
		for(d=0;d<w;++d){//枚举余数
			maxk=(maxw-d)/w;lim=max(maxk-m,0);//先确定最初的范围
			for(t=0,k=maxk-1;k>=lim;--k){//窗口先扩大宽度到m
				now=f[k*w+d]-k*v;
				while(t&&g[t]<=now)--t;//维护单调性
				g[++t]=now;q[t]=k;
			}
			for(h=1,k1=maxk;~k1;--k1,--k){//可以开始转移了
				if(h<=t&&q[h]>=k1)++h;//接着移动
				if(h<=t)chkmx(f[k1*w+d],g[h]+k1*v);//转移
				if(k<0)continue;//注意窗口可能已经出正数范围了
				now=f[k*w+d]-k*v;
				while(h<=t&&g[t]<=now)--t;//维护单调性
				g[++t]=now;q[t]=k;
			}
		}
	}
	printf("%d
",f[maxw]);
	return 0;
}