堆与优先队列

　　我们经常提到的数据结构大顶堆指的是二叉堆，它是一颗堆有序的完全二叉树（非叶子结点层都是满的，最后一层从右向左只能空缺右结点)。其中根节点是所有结点中最大，并且每个父节点都大于其两个子节点（堆有序）。完全二叉树底层是用数组实现的，所以它只是逻辑上的一个概念。下图是一个大顶堆的例子：

　　那么给定一个数组怎么建立大顶堆呢？我们用下面代码来说明，建立堆的时间复杂度为O(n)。

//建立大顶堆
public void creatHeap(int[] arr) { 
    for (int i=0; i<arr.length; i++) { 
        heapInsert(arr, i);
    }
}
/**
     * 某一个元素进堆，元素上浮的过程
     * @param arr
     * @param index
     */
public void heapInsert(int[] arr, int index) {
    //当前元素大于父节点时，交换
    while (arr[index] > arr[(index - 1) / 2]) {
        swap(arr, index, (index - 1) / 2);
        // 来到父节点位置继续比较
        index = (index - 1) / 2;
    }
}

public void swap(int[] arr, int m, int n) {
    int temp = arr[m];
    arr[m] = arr[n];
    arr[n] = temp;
}

   　　如果说堆中某个元素变小了，我们可以使用heapify来调整元素的位置，使得堆仍然是大顶堆，heapify实际上是当前元素下沉的过程，具体代码如下：

/**
     * 元素下沉过程
     * @param arr 
     * @param index 当前变小的元素
     * @param heapSize 堆的大小，小于等于数组的大小  
     */
public void heapify(int[] arr, int index, int heapSize) {
    //左右孩子结点的索引，数组的索引从0开始
    int left = 2 * index + 1;
    int right = left + 1;
​
    while (left < heapSize) {
        //从左右孩子中选出大的
        int largest = right < heapSize && arr[right] > arr[left] ? right : left; 
        //和index比较
        largest = arr[largest] > arr[index] ? largest : index; 
        //当前变小的元素任然比左右孩子结点大，结束循环 
        if (largest == index) break;
        //交换
        swap(arr, largest, index);
        //更新index位置，来到largest的位置
        index = largest; 
        //重置left位置，继续向下比较
        left = 2 * index + 1;
    }
}

　　优先队列本质还是一个队列，只不过队列里的元素有优先级，优先级高的元素先出队列。在Java中优先队列有两种实现，一种是大顶堆，另外一种是小顶堆。以大顶堆为例：当队首元素弹出时，优先队列会自动调整剩下的元素，使其仍是一个大顶堆，时间复杂度为O(nlogn)。具体实现过程就利用了我们上面的heapify方法，同样给出代码说明：

public void heapSort(int[] arr) {
        int len = arr.length;
        //交换首尾元素，使得弹出的元素在堆中失效，但仍在数组中
        swap(arr, 0, --len);
        //不断地进行heapify操作
        while (len > 0) {
            heapify(arr, 0, len);
            swap(arr, 0, --len);
        }
}

　　优先队列可以应用于系统的任务调度，优先级高的任务先执行，低的在队列中等候；图的搜索算法中也会用到优先队列，感兴趣的童鞋可以阅读《算法》第四版具体学习。

　　参考资料：左程云算法初级班

　　　　　　 《算法》第四版