子数组的最大乘积——编程之美2.13

题目：

给定一个长度为N的整数数组，只允许用乘法不允许用除法，计算N-1个数组合的乘积最大的一组，并写出算法的时间复杂度。  

方法一： 

最简单的计算就是把所有N-1个数的组合全找出来，共有C(N, N-1) = N 种情况，所以算法的复杂度为Ο(N2)。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;
 
long long LevelOne(const int *d, unsigned int n)
{
  long long ret;
  long long max;
  int i, j;
  for(i=0; i<n; i++)
  {
    for(j=0, ret=1; j<n; j++)
    {
      ret *= ((i==j) ? 1 : d[j]);
      if(ret == 0) break;
    }
    max = (i==0 ? ret : max);
    max = (max<=ret ? ret : max);
  }
 
  return max;
}
 
int main()
{
  const int maxsize = 10;
  int data[maxsize];
  long long max;
 
  srand(time(NULL));
 
  for(int i=0; i<maxsize; i++)
    data[i] = ((rand()%10<2) ? -1:1) * (rand()%10);
 
  for(int i=0; i<maxsize; i++)
    cout<<data[i]<<" ";
  cout<<endl;
 
  max = LevelOne(data, maxsize);
 
  cout<<"max: "<<max<<endl;
 
  return 0;
}

方法二：

对于数组A[N],假设这样思考假设去除第i个元素的乘积可以表示为A[0]*A[1]*…A[i-1] * A[i+1]*A[i+2]*…A[N-1]，则可以写出如下算法满足复杂度为Ο(N)。  1.算出A[0]~A[N-1]，N个元素的乘积赋值给M  2.定义变量i=N-1, R=1,和数组p[N]  3.如果i==0 p[0] = A[0] 返回  4.如果i>=0 重复步骤5  5.M /= A[i]; p[i] = M*R; R *= A[i]   但是本算法使用了除法，而规定不允许，所以可以做个小的调整。设f[i]=A[0]*A[1]*…A[i], r[i]=A[i]*A[i+1]*…A[N]则p[i] = f[i-1]*r[i+1]。

long long LevelTwo(const int *d, unsigned int n)
{
  int *f = new int [n];
  int *r = new int [n];
  long long *p = new long long [n];
  long long max;
 
  assert(f!=0 && r!=0 && p!=0);
 
  long long fv=1, rv=1;
  for(int i=0; i<n; i++)
  {
    int j = n-i-1;
    fv *= d[i];
    rv *= d[j];
    f[i] = fv;
    r[j] = rv;
  }
 
  max = p[0] = r[1];
  for(int i=1; i<n; i++)
  {
    p[i] = f[i-1] * r[i+1];
    max = max<p[i] ? p[i] : max;
  }
 
  delete [] f;
  delete [] r;
  delete [] p;
 
  return max;
}

方法三：

虽然以上算法已经将复杂度降到了Ο(N)了，但还是可以进一步减少计算量。子数组最大乘积问题可以分为以下几种情况。  

1.数组中有多于一个零则最大乘积为0；

2.数组中只有一个零，而有奇数个负数，则最大乘积必定为0；

3.数组中只有一个零，而有偶数个负数，则最大乘积为除去0的元素的乘积；  

4.数组中没有零，而有奇数个负数，则最大乘积为除去绝对值最小的负数的乘积；  

5.数组中没有零，而有偶数个负数，则最大乘积为除去最小的正数的乘积。

long long LevelThree(int *d, int n)
{
  int n_zero = 0;
  int n_neg = 0;
  int maxneg = 0;
  int minpos = 0;
  int maxnegi = 0;
  int minposi = 0;
  int zeroi = 0;
  int out;
  long long max = 1;
 
  for(int i=0; i<n; i++)
  {
    if(d[i] < 0)
    {
      n_neg++;
      if(maxneg == 0)
      {
        maxneg = d[i];
        maxnegi = i;
      }
      else if(maxneg<d[i])
      {
        maxneg = d[i];
        maxnegi = i;
      }
    }
    else if(d[i] == 0)
    {
      zeroi = i;
      if(++n_zero>1) return 0;
    }
    else
    {
      if(minpos == 0)
      {
        minpos = d[i];
        minposi = i;
      }
      else if(minpos > d[i])
      {
        minpos = d[i];
        minposi = i;
      }
    }
  }
 
 
  if(n_zero==1 && n_neg%2==1)
  {
    return 0;
  }
  else if(n_zero==1 && n_neg%2==0)
  {
    out = zeroi;
  }
  else if(n_zero==0 && n_neg%2==1)
  {
    out = maxnegi;
  }
  else if(n_zero==0 && n_neg%2==0)
  {
    out = minposi;
  }
 
  for(int i=0; i<n; i++)
  {
    max *= (i==out)?1:d[i];
  }
  return max;
}

源文来自：http://acm.hrbeu.edu.cn/~puppy/2011/02/26/%e8%ae%b0%e5%bd%95-%e7%bc%96%e7%a8%8b%e4%b9%8b%e7%be%8e-%e5%ad%90%e6%95%b0%e7%bb%84%e6%9c%80%e5%a4%a7%e4%b9%98%e7%a7%af%e9%97%ae%e9%a2%98/