字符串算法（KMP，Trie树,AC自动机）

浅谈字符串算法

一、KMP

KMP算法是一种用于处理字符串匹配的算法（也就是给你两个字符串，你需要回答，B 串是否是 A 串的子串（A 串是否包含 B 串）。比如，字符串 A=”I love the world”，字符串 B=”world”，我 们就说 B 是 A 的子串。我们称等待匹配的 A 串为主串（母串），用来匹配的 B 串为模式串）
对于一般情况来讲，我们可以直接对AB两串暴力匹配，最坏情况的复杂度为O（mn)，而KMP是一种最坏情况复杂度为O（max（m，n））的算法。
对于A[1...i]$A[\mathrm{1...}i]$和B[1...j]$B[\mathrm{1...}j]$(i>j$i>j$)两个字符串，如果A[u−v+1...u]$A[u-v+\mathrm{1...}u]$和B[1...v]$B[\mathrm{1...}v]$都是相匹配的，但在A[u+1]$A[u+1]$和B[v+1]$B[v+1]$时失配了，那么我们通过减小v$v$的值使得A[u−v+1...u]$A[u-v+\mathrm{1...}u]$和B[1...v]$B[\mathrm{1...}v]$相匹配并尝试新的A[u+1]$A[u+1]$和B[v+1]$B[v+1]$。
那么我们怎么减小v的值？如果每次减1的话对于复杂度来说并没有什么优化，所以说我们需要一个next数组来记录上一个能够匹配的地方（或者记录和上一个能匹配的地方的距离），然后发现这和KMP的匹配好像是一个意思，只是一个是两个之间的匹配，一个是一个串自己的匹配

时间复杂度是O（max（m，n））的，可以证明

因为每一次执行while循环都会使 j 的值减小，而总共 j 只会减少n次，按照摊还分析的说法，平均分配到每一次循环中，复杂度是O（1）的，（有的会多一些，但有些也相应不会），所以总复杂度为O（max（m，n）），而预处理的复杂度为O（min（m，n））；

具体参考代码

#include<cstring>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstdio>
using namespace std;
char a[1000005],b[1000005];
int next[1000005];
bool ans;
int main(){
    cin>>a+1;
    cin>>b+1;
    int m=strlen(a+1);
    int n=strlen(b+1);
    //预处理next数组，b[i]和b[j]自我匹配 
    for(int i=2,j=0;i<=n;i++){
        while(j>0&&b[j+1]!=b[i]) j=next[j];
        if(b[j+1]==b[i]) j++;
        next[i]=j;
    }
    ans=false;
    //KMP算法 
    for(int i=1,j=0;i<=m;i++)
    {
        while(j>0&&b[j+1]!=a[i]) j=next[j];
        if(b[j+1]==a[i]) j++;
        if(j==n) cout<<i+1-n<<endl,ans=true,j=next[j];
    }
    if(ans==false)
    cout<<
"NO"<<endl;
    return 0;
}

字典树

字典树，也称 Trie、字母树，指的是某个字符串集合对应的形如下图的有根树。一般树的每
条边上对应有恰好一个字符，每个顶点代表从根到该节点的路径所对应的字符串（将所有经
过的边上的字符按起来）

Trie树一般用于字符串的查找，匹配，能统计，排序，保存大量字符串信息，时间效率相当优秀（当然是以空间复杂度为代价的）

如果字符串为小写字母的话，字典树可以看成一个26叉树，而树的公共前缀可以很好的节省空间，插入和查询操作和树一样，一直往下走就了。

字典树主要的两种操作就是插入和查询，都是很简单的在树下走就是了
我们通过一个结构体来储存一个节点的信息：trans[i]$trans[i]$以i为边的儿子的编号，一个bool变量bo 记录是否为一个字符串的结尾
插入操作

void insert(char *s) { 
    int len = strlen(s); 
    int u = 1; // 1 为根节点 
    for (int i = 0; i < len; ++i) { 
        if (!tr[u].trans[s[i] - 'a']) // 若不存在这条边则要新建一个节点与转移边 
            tr[u].trans[s[i] - 'a'] = ++tot; // tot 为总点数 
        u = tr[u].trans[s[i] - 'a']; 
    } 
    tr[u].bo = true; // 在串的结尾处将 bo 赋值，表示它代表一个实际字符串

查询操作

bool insert(char *s) { 
    int len = strlen(s); 
    int u = 1; 
    for (int i = 0; i < len; ++i) { 
        if (!tr[u].trans[s[i] - 'a']) return false; 
        u = tr[u].trans[s[i] - 'a']; 
    }    
    return true; 
}

AC自动机

AC自动机其实和是Trie树和KMP的综合体，用于处理多模式匹配，比如说，给你N个串，再给你一片文章，问多少个个串在文章里出现了。

AC自动机相当于在Trie树上做匹配，而为了减小复杂度，利用和KMP相似的思想构建一个失败指针（fail）（相当于KMP里的next数组）来减小时间复杂度，不过KMP里是在一个串上不断地跳，而AC自动机是在整个Trie树上不断地跳

对于一个点u，我们需要找到一个点v使v所代表的串有尽量长的前缀和u的后缀相等，显然这个v节点的深度是小于u节点的，因此我们可以通过按节点的深度大小，也就是 BFS 的顺序来构建失配指针，构建过程与 KMP 类似，KMP 中i的 next 是沿着 1 i 的 next 不 停往前跳来求，而 AC 自动机中u的 fail 则通过父节点的 fail 不停往上跳，直到找到一个节点
它拥有对应字符的转移边为来得

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 const int n = 10000 + 3;
 const int m = 1e6 + 3;
 const int l = 50 + 3; 
 int t,tot,k,vst[n*l];
 struct node{
    int cnt,fail;
    int trans[26];
    void init(){
        cnt=fail=0;
        memset(trans,0,sizeof(trans));
    }
 }tr[n*l];
 char s[m];
 void insert(char *s){
    int len=strlen(s);
    int u=1;
    for(int i=0;i<len;++i){
        if(!tr[u].trans[s[i]-'a'])
        tr[tr[u].trans[s[i]-'a']=++tot].init();
        u=tr[u].trans[s[i]-'a'];
    }
    ++tr[u].cnt;
 }
 void buildfail(){
    static int qn,que[n*l];
    que[qn=1]=1;
    for(int ql=1;ql<=qn;++ql){
        int u=que[ql],v,w;
        for(int i=0;i<26;++i){
            v=tr[u].fail;
            while(!tr[v].trans[i]) v=tr[v].fail;
            v=tr[v].trans[i],w=tr[u].trans[i];
            if(w) {
            tr[w].fail=v;que[++qn]=w;}
            else tr[u].trans[i]=v;
        }
    } 
 }

 int main(){
     for(int i=0;i<26;i++) tr[0].trans[i]=1;
     cin>>t;
     for(int tt=1;tt<=t;++tt){
        tr[tot=1].init();
        cin>>k;
        for(int i=1;i<=k;++i){
            cin>>s;
            insert(s);
        }
        buildfail();
        cin>>s;
        int len=strlen(s);
        int now=1,tmp,ans=0;
        for(int i=0;i<len;++i){
            now=tr[now].trans[s[i]-'a'];
            tmp=now;
            while(tmp&&vst[tmp]!=tt){
                vst[tmp]=tt;
                ans+=tr[tmp].cnt;
                tmp=tr[tmp].fail;
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
     }
     return 0;

 }