$HDOJ5542 The Battle of Chibi$ 数据结构优化$DP$

$AcWing$

$Description$

$Sol$

首先显然是是以严格递增子序列的长度为阶段,由于要单调递增,所以还要记录最后一位的数值

$F[i][j]$表示前$i$个数中以$A_i$结尾的长度为j单调递增序列有多少个

$F[i][j]=sum_{k<i且A_k<A_i}^{ }F[k][j-1]$

注意到,如果没有$A_k<A_i$这个条件我们就可以直接维护前缀和了

有$A_k<A_i$这个条件,可以考虑维护$A_i$为下标,$F[i][j-1]$为值的数组的前缀和

$A_i$的值会过大而不能作为下标,要离散化

但是$i$每增加$1$,这个数组并不像之前那样简单的在数组后面加一个值,而是在不确定的地方修改,这样的话如果再是朴素地维护前缀和也起不到上面优化的作用了

待修改的区间求和问题$???$树状数组$!!!$

也就是说维护一个以$A_i$的离散值为下标,$F[i][j-1]$为值的树状数组就好啦

然后讲下细节(敖丙说了细节决定成败$qwq$).就是初始化是$f[0][0]=1$,但是众所周知树状数组的下标不可以为$0$,所以把整个树状数组往右移一位.

 

$Code$

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define Rg register
#define go(i,a,b) for(Rg int i=a;i<=b;i++)
#define yes(i,a,b) for(Rg int i=a;i>=b;i--)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a));
#define int long long
using namespace std;
il int read()
{
    int x=0,y=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')y=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    return x*y;
}
const int N=1010,mod=(1e9)+7;
int T,n,n1,m,as,a[N],b[N],v[N],c[N],f[N][N];
il int Find(int x){return find(b+1,b+n1+1,x)-b;}//find(b+1,b+n1+1,x)-b;}
il int lowbit(int x){return x&(-x);}
il void add(int p,int w){while(p<=n1){c[p]=(c[p]+w)%mod;p+=lowbit(p);}}
il int sum(int p){int ret=0;while(p){ret=(ret+c[p])%mod;p-=lowbit(p);}return ret%mod;}
main()
{
    T=read();
    go(TT,1,T)//remember to init
    {
        n=read(),m=read();
        go(i,1,n)a[i]=b[i]=read();
        sort(b+1,b+n+1);
        n1=unique(b+1,b+n+1)-(b+1);
        go(i,1,n){v[i]=Find(a[i]);}
        f[0][0]=1;
        go(i,1,m)
        {
            mem(c,0);if(i==1)add(1,1);
            go(j,1,n)f[i][j]=sum(v[j]),add(v[j]+1,f[i-1][j]);
        }
        as=0;go(i,1,n)as=(as+f[m][i])%mod;
        printf("Case #%lld: %lld
",TT,as);
    }
    return 0;
}