螺旋线
定义
本文的情景下，圆弧都是在特定的平面下定义的，比如X-Y平面、Y-Z平面、Z-X平面。圆弧的一些属性，比如圆心、半径、圆心角、圆弧上某一点的向量角等都是在平面上定义的。以下是一些概念的说明：
- 起点半径：圆弧起点到圆心的距离
- 终点半径：圆弧终点到圆心的距离
- 螺线：当圆弧的起点半径与终点半径不相等，且圆弧从起点到终点的半径随着角度呈线性变化，此时圆弧被认为是螺线
- 螺旋：当圆弧还具有垂直于平面的高度时，且高度随着角度呈线性变化，此时圆弧被认为是螺旋
- 螺距：螺旋每走一圈的高度差
- 圆锥线：当圆弧既是螺线又是螺旋时，圆弧被认为是圆锥线
公式推导
螺旋
螺旋的长度：
[L = sqrt {(R* heta_0)^2+H^2}
]
其中，螺旋高度(H)，圆弧半径(R)。
螺旋的切向向量：
[egin{cases}
frac {dx}{d heta}=-Rsin heta
\
frac {dy}{d heta}=Rcos heta
\
frac {dz}{d heta}=frac {H}{ heta_0} = S
end{cases}
]
螺旋的曲率向量：(frac {R}{(sqrt{R^2+S^2})^3} (Ssin heta,-Scos heta, R))
曲率公式（分子的模去掉即为曲率向量）：
[k=frac {|r'(t) imes r''(t)|}{|r'(t)|^3}
]
螺线
螺线的数学模型：
[R = frac{Re * heta + Rs( heta_0- heta)}{ heta_0} = a * heta + Rs ag1
]
其中，起点半径(Rs)，终点半径(Re)，圆心角( heta_0)，(a)为圆弧半径随圆心角的变化率。
螺线长度微分：
[dxy=sqrt{(Rd heta)^2+(dR)^2}=sqrt{R^2+a^2}d heta ag2
]
将公式(1)代入公式(2)可化简为公式(3)的形式
[dxy=sqrt{A heta^2+B heta+C}d heta ag3
]
其中，(A=a^2, B=2aRs, C=a^2+Rs^2)
套用下图中的积分公式进行积分即可得到螺线长度：
公式证明中有部分错误，请读者自己注意甄别。
圆锥线
圆锥线就是在螺线的基础上加一个轴的分量。
[dxyz=sqrt{A heta^2+B heta+C}d heta
]
其中，(A=a^2, B=2aRs, C=a^2+Rs^2+S^2)，(S)为圆弧高度随圆心角的变化率。
然后同样按照上一节的积分公式进行积分得到圆锥线长度。
圆锥线的切向向量和曲率向量按照公式代入推导即可，下面直接给出结果。
圆锥线的切向向量：
[egin{cases}
frac {dx}{d heta}=-Rsin heta +acos heta
\
frac {dy}{d heta}=Rcos heta+asin heta
\
frac {dz}{d heta}=frac {H}{ heta_0} = S
end{cases}
]
圆锥线的曲率向量：(frac {1}{(sqrt{R^2+S^2+a^2})^3} (S(Rsin heta-2acos heta),-S(Rcos heta+2asin heta), R^2+2a^2))
(S=0)代入以上公式即为螺线的结果。