数据--第34课

第34课 - 二叉树的深层性质

1. 性质1

在二叉树的第i层最多有2^i-1个结点。(i>= 1)

第一层最多有2¹-1=1个结点。

第二层最多有2^2-1=2个结点。

第三层最多有2^3-1=4个结点。

2. 性质2

深度为 kkk 的二叉树最多有 222kkk------111个结点。(k ≥ 0)0)0)

如果有一层，最多有1=2¹-1=1个结点。

如果有两层，最多有1+2=2²-1=3个结点。

如果有三层，最多有1+2+4=2³-1=7个结点。

3. 性质3

对于任何一颗二叉树，如果其叶结点有n₀个，度为2的非叶结点有n₂个，则有n₀=n₂+1。

证明：

假设二叉树中度1的结点有n₁个且总结点为n个，则：n=n₀+n₁+n₂。

假设二叉树中连接父结点与子节点间的边为e条，则：e=n₁+2n₂=n-1。

所以：n₀=n₂+1。

4. 性质4

具有n个结点的完全二叉树的高度为[log₂n]+1。（[X]表示不大于X的最大整数）

证明：假设这n个结点组成的完全二叉树高度为k，则：2^k-1-1<n<=2^k-1

因为n为整数，所以：2^k-1<=n<2^k

取对数：k-1<=log₂n<k

因为k为整数，所以：k=[log₂n]+1。

5. 性质5

一棵有n个结点的二叉树（高度为[log₂n]+1），按层次对结点进行编号（从上到下，从左到右），对任意结点i有：

如果i=1，则结点i是二叉树的根。

如果n>1，则其双亲的结点为[i/2].

如果2i<=n，则结点i的左孩子为2i。

如果2i>n，则结点i无左孩子。

如果2i+1<=n，则结点i的右孩子为2i+1。

如果2i+1>n,则结点i无右孩子。