Prufer序列

Prufer序列

Prufer 序列可以将一个带标号(n)个结点的无根树用(n-2)个([1,n])的整数表示。也可以理解为完全图的生成树与数列之间的双射。

带标号无根树与(Prufer)序列是一一对应的。

无根树转Prufer序列

有一棵带标号无根树。它的(Prufer)序列构造如下：

　每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在序列中记下和它相邻的那个结点的编号。反复执行操作直到只剩下两个结点。

Prufer序列转无根树

有一个(Prufer)序列和(n)个点的点集。转回无根树就是：

　每次取出(Prufer)序列中最前面的元素(x)，和点集中编号最小的不在(Prufer)序列的元素(y)，给(x，y)连边之后分别删去。最后点集中剩下两个结点，把它们连边。

性质

• (Prufer)序列中每个编号出现次数等于该结点在原树中的度数-1。（只有作为叶子被删去时不会加入序列中）

Cayley′s Formula

因为(Prufer)序列和原树是一一对应的关系，所以

• (n)个点带标号无根树的方案数为(n^{n-2})。

(Ex)：

1.如果给定每个点度数$d_1,d_2,dots,d_n $，那么

• 对应的无根树的数量为(frac{(n-2)!}{prod_{i=1}^n(d_i-1)!})。

  相当于是已经确定了序列中的元素，现在只用算多重集的排列数。

2.(n)个点其中(k)个给定度数，令(s=sum_{i=1}^k(d_i-1))

• 对应的无根树数量(inom{n-2}{s}frac{s!}{prod_{i=1}^k(d_i-1)!}(n-k)^{n-2-s})。

  就是这(s)个排列了之后剩下的位置随便填。

3.有(n)个带权的点，边权为连接的点权之积，树的权值为边权之积。求所有树的权值之和。

​ 设点(i)的权值为(val_i)，度数为(d_i)，那么一棵树的权值就是(prod_{i=1}^nval_i^{d_i})。

​ 考虑利用(Prufer)序列计算。根据乘法分配率

• 答案是((prod_{i=1}^nval_i)(sum_{i=1}^nval_i)^{n-2})。

  第一项就是考虑到每个点在(Prufer)序列恰出现(d_i-1)次，所以要补一次。

Generalized Cayley′s Formula

(n)个点构成(m)棵有标号无根树，且指定其中(m)个点不在同一棵树上。

• 方案数为(f(n,m)=mn^{n-m-1})。

(m=1)时有(f(n,1)=n^{n-2})，即Cayley′s Formula。

可以归纳证明：首先对于任意(n)有(f(n,0)=0)，(f(n,1)=n^{n-2})，这是边界。

我们假设对于所有(i<n)，(f(i,m)=mi^{i-m-1})恒成立。要证(f(n,m)=mn^{n-m-1})。

方便起见，我们枚举1号点的度数(i)，以及与1号点相连的那(i)个点，那么在去掉1号点之后，会留下(n-1)个点和(m+i-1)棵树（常用的缩小规模手段要学会）。即：

[egin{align} f(n,m)=&sumlimits_{i=0}^{n-m}inom{n-m}{i}f(n-1,m+i-1)\ =&sumlimits_{i=0}^{n-m}inom{n-m}{i}(m+i-1)(n-1)^{n-m-i-1}\ end{align} ]

令(i=n-m-i)，则有：

[egin{align} f(n,m)=&sumlimits_{i=0}^{n-m}inom{n-m}{i}(n-i-1)(n-1)^{i-1}\ =&sumlimits_{i=0}^{n-m}inom{n-m}{i}(n-1)^i-sumlimits_{i=0}^{n-m}inom{n-m}{i}i(n-1)^{i-1}\ =&sumlimits_{i=0}^{n-m}inom{n-m}{i}(n-1)^i-sumlimits_{i=1}^{n-m}inom{n-m}{i}i(n-1)^{i-1} end{align} ]

第二步到第三步是因为(i=0)时这一项乘了个(i)所以结果就是0。

前面一项，用二项式定理变成(n^{n-m})；后面一项把(i)丢进组合数里约分，(inom{n-m}{i}i)变成((n-m)inom{n-m-1}{i-1})。

[egin{align} f(n,m)=&n^{n-m}-(n-m)sumlimits_{i=1}^{n-m}inom{n-m-1}{i-1}(n-1)^{i-1}\ =&n^{n-m}-(n-m)sumlimits_{i=0}^{n-m-1}inom{n-m-1}{i}(n-1)^{i}\ =&n^{n-m}-(n-m)n^{n-m-1}\ =&mn^{n-m-1} end{align} ]

(Q.E.D.)

图联通方案数

Problem to solve：(n)个点(m)条边的带标号无向图形成(k)个联通块。添加(k-1)条边使得图联通的方案数。

设(s_i)表示第(i)个联通块中点的数量。我们现在是要对(k)个联通块构造(Prufer)序列。但是因为每个联通块连接方式很多，所以不能直接简单构造。

考虑设(d_i)为第(i)个联通块的度数。有(sumlimits_{i=1}^kd_i-1=k-2)（两边同时加(k)就是(sumlimits_{i=1}^kd_i=2k-2)，即度数和是边数的两倍），那么对于给定(d)序列构造(Prufer)序列的方案数有

[inom{k-2}{d_1-1,d_2-1,dots,d_k-1}=frac{(k-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!dots(d_k-1)!} ]

这和Cayley′s Formula的(Ex1.)是一样的。

对于第(i)个联通块，它的连接方式有(s_i^{d_i})种，因为每一条边可以选择任意点连接。那么对于给定(d)序列的图，使其联通的方案数为

[inom{k-2}{d_1-1,d_2-1,dots,d_k-1}cdot prodlimits_{i=1}^ks_i^{d_i} ]

所有方案就是再枚举一个(d)序列：

[sumlimits_{d_igeq 1,sum_{i=1}^kd_i=2k-2}inom{k-2}{d_1-1,d_2-1,dots,d_k-1}cdot prodlimits_{i=1}^ks_i^{d_i} ]

由多元二项式定理：

[(x_1+x_2+dots+x_m)^p=sumlimits_{c_ige0,sum_{i=1}^mc_i=p}inom{p}{c_1,c_2,dots,c_m}cdot prod x_i^{c_i} ]

设(e_i=d_i-1)，原式变成：

[egin{align} &sumlimits_{e_igeq 0,sum_{i=1}^ke_i=k-2}inom{k-2}{e_1,e_2,dots,e_k}cdot prodlimits_{i=1}^ks_i^{e_i+1}\ &=(s_1+s_2+dots+s_k)^{k-2}cdot prodlimits_{i=1}^ks_i end{align} ]

转自：

https://oi-wiki.org/graph/prufer/

https://blog.csdn.net/weixin_34227447/article/details/93649135