NOI 2001 反正切函数的应用

NOI 2001 反正切函数的应用

洛谷传送门

题目背景

反正切函数可展开成无穷级数，有如下公式

arctan(x) = sum_{n = 0}^infty frac{(-1) ^ n x ^ {2n + 1}}{2n + 1} ( 0 le x le 1 ) ag{1}arctan(x)=n=0∑∞2n+1(−1)n**x2n+1(0≤x≤1)(1)

使用反正切函数计算 是一种常用的方法。例如，最简单的计算 的方法：

egin{aligned} pi & = 4 arctan(1) & = 4(1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + frac{1}{9} - frac{1}{11} + dots) end{aligned} ag{2}π=4arctan(1)=4(1−31+51−71+91−111+…)(2)

然而，这种方法的效率很低，但我们可以根据角度和的正切函数公式：

an(alpha + eta) = frac{ an(alpha) + an(eta)}{1 - an(alpha) an(eta)} ag{3}tan(α+β)=1−tan(α)tan(β)tan(α)+tan(β)(3)

通过简单的变换得到：

arctan(p) + arctan(q) = arctan(frac{p + q}{1 - p q}) ag{4}arctan(p)+arctan(q)=arctan(1−pqp+q)(4)

利用这个公式，令 p = frac{1}{2}, q = frac{1}{3}p=21,q=31，则 frac{p + q}{1 - p q} = 11−pqp+q=1，有

arctan(frac{1}{2}) + arctan(frac{1}{3}) = arctan(frac{frac{1}{2} + frac{1}{3}}{1 - frac{1}{2} cdot frac{1}{3}}) = arctan(1)arctan(21)+arctan(31)=arctan(1−21⋅3121+31)=arctan(1)

题目描述

我们将公式 44 写成如下形式

arctan(frac{1}{a}) = arctan(frac{1}{b}) + arctan(frac{1}{c})arctan(a1)=arctan(b1)+arctan(c1)

其中 a, b, c in mathbb{N^+}a,b,c∈N+。

我们的问题是：对于每一个给定的 aa，求 b + cb+c 的值。我们保证对于任意的 aa 都存在整数解。如果有多个解，要求你给出 b + cb+c 最小的解。

输入格式

输入文件中只有一个正整数 aa。

输出格式

输出文件中只有一个整数，为 b + cb+c 的值。

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题解：

题解推的好麻烦啊。

利用一个性质：(a<ble c)。

然后可以推出来(c=frac{ab+1}{b-a})，所以b的枚举范围就确定了下来。

最后只要枚举到头就好。

代码：

#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
int a,b,ans;
signed main()
{
	scanf("%lld",&a);
	for(b=a+1;b*(b-a)<=a*b+1;b++)
		if((b*b+1ll)%(b-a)==0)
			ans=(b*b+1ll)/(b-a);
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}