蓝桥杯 最大的算式 dp

问题描述

　　题目很简单，给出N个数字，不改变它们的相对位置，在中间加入K个乘号和N-K-1个加号，（括号随便加）使最终结果尽量大。因为乘号和加号一共就是N-1个了，所以恰好每两个相邻数字之间都有一个符号。例如：
　　N=5，K=2，5个数字分别为1、2、3、4、5，可以加成：
　　1*2*(3+4+5)=24
　　1*(2+3)*(4+5)=45
　　(1*2+3)*(4+5)=45
　　……

输入格式

　　输入文件共有二行，第一行为两个有空格隔开的整数，表示N和K，其中（2<=N<=15, 0<=K<=N-1）。第二行为 N个用空格隔开的数字（每个数字在0到9之间）。

输出格式

　　输出文件仅一行包含一个整数，表示要求的最大的结果

样例输入

5 2
1 2 3 4 5

样例输出

120

样例说明

　　(1+2+3)*4*5=120

参考于https://www.cnblogs.com/cao-lei/p/6690827.html和https://blog.csdn.net/Tesla_meng/article/details/88614520

因为不能改变数字的相对位置，所以只考虑乘号在哪里，不考虑括号。

利用前缀和思想，用sum[i]保留前i个数的和便于快速求出a[p]+a[p+1]+...+a[i]的值（见下图），用dp[i][j]保留前i个数中含有j个乘号的最大的结果。那么我们最终要求的是dp[n][k]。显然，dp[i][0]=sum[i]，因为没有一个乘号，全为加号，所以就相当于求前n项和。

记a[1]=1,a[2]=2,...,a[5]=5
dp[2][1] = dp[1][0] * a[2]。注释：两个数一个乘号，即为1*2
dp[3][1] = max(dp[2][0]a[3], dp[1][0](a[2]+a[3]))。注释：三个数一个乘号，即为（1+2）*3和1*（2+3）中的最大值
dp[4][1] = max(dp[3][0]a[4], dp[2][0](a[3]+a[4]), dp[1][0](a[2]+a[3]+a[4]))。注释：四个数一个乘号，即为（1+2+3）*4和（1+2）*（3+4）和1*（2+3+4）中的最大值
所以，我们得到dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[p-1][j-1](sum[i]-sum[p-1])) (p表示插入的乘号的位置，2<=p<=i)

sum[i]-sum[p-1]为前缀和算法

注意数据范围，最大的结果是15个9相乘，9^15超过了int范围，开long long。

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;
long long dp[20][20];
long long sum[20];
int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int t;
        cin >> t;
        sum[i] = sum[i - 1] + t;
        dp[i][0] = sum[i]; 
    }
    for(int i = 2; i <= n; i++) { //数字个数逐渐增加 
        for(int j = 1; j <= i - 1 && j <= k; j++) { //乘号个数逐渐增加 
            for(int p = 2; p <= i; p++)    { //乘号的位置逐渐往后移  
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[p - 1][j - 1] * (sum[i] - sum[p - 1]));
            }
        }
    }
    cout << dp[n][k] << endl;
    return 0;
 }