474. 一和零

这道题和经典的背包问题非常相似，但是和经典的背包问题只有一种容量不同，这道题有两种容量，即选取的字符串子集中的 (0) 和 (1) 的数量上限。

定义三维数组 ( extit{dp})，其中 ( extit{dp}[i][j][k]) 表示在前 (i) 个字符串中，使用 (j) 个 (0) 和 (k) 个 (1) 的情况下最多可以得到的字符串数量。假设数组 ( extit{str}) 的长度为 (l)，则最终答案为 ( extit{dp}[l][m][n])。

当没有任何字符串可以使用时，可以得到的字符串数量只能是 (0)，因此动态规划的边界条件是：当 (i=0) 时，对任意 (0 le j le m) 和 (0 le k le n)，都有 ( extit{dp}[i][j][k]=0)。

当 (1 le i le l) 时，对于 ( extit{strs}) 中的第 (i) 个字符串（计数从 (1) 开始），首先遍历该字符串得到其中的 (0) 和 (1) 的数量，分别记为 ( extit{zeros}) 和 ( extit{ones})，然后对于 (0 le j le m) 和 (0 le k le n)，计算 ( extit{dp}[i][j][k]) 的值。

当 (0) 和 (1) 的容量分别是 (j) 和 (k) 时，考虑以下两种情况：

如果 (j < extit{zeros}) 或 (k < extit{ones})，则不能选第 (i) 个字符串，此时有 ( extit{dp}[i][j][k] = extit{dp}[i - 1][j][k])；

如果 (j ge extit{zeros}) 且 (k ge extit{ones})，则如果不选第 (i) 个字符串，有 ( extit{dp}[i][j][k] = extit{dp}[i - 1][j][k])，如果选第 (i) 个字符串，有 ( extit{dp}[i][j][k] = extit{dp}[i - 1][j - extit{zeros}][k - extit{ones}] + 1)，( extit{dp}[i][j][k])的值应取上面两项中的最大值。

因此状态转移方程如下：

[ extit{dp}[i][j][k]=egin{cases} extit{dp}[i - 1][j][k], & j< extit{zeros} ~~ | ~~ k< extit{ones} \ max( extit{dp}[i - 1][j][k], extit{dp}[i - 1][j - extit{zeros}][k - extit{ones}] + 1), & j ge extit{zeros} ~ & ~ k ge extit{ones} end{cases} ]

最终得到 ( extit{dp}[l][m][n]) 的值即为答案。

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        int len = strs.size();
        vector<vector<int>> f(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for(int i = 0; i < len; i++)
        {
            int cnt0 = 0, cnt1 = 0;
            string str = strs[i];
            for(auto& t : str)
                if(t == '0') cnt0++;
                else cnt1++;

            for(int j = m; j >= cnt0; j--)
                for(int k = n; k >= cnt1; k--)
                    f[j][k] = max(f[j][k], f[j - cnt0][k - cnt1] + 1);
        }
        return f[m][n];
    }
};