一本通1655数三角形

1655：数三角形

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【题目描述】

给定一个 n×m 的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为 4×4 的网格上的一个三角形。

注意：三角形的三点不能共线。

【输入】

输入一行，包含两个空格分隔的正整数 m 和 n。

【输出】

输出一个正整数，为所求三角形数量。

【输入样例】

2 2

【输出样例】

76

【提示】

数据范围与提示：

对于所有数据，1≤m,n≤1000。

sol：肯定是算不能构成三角形的方案数比较容易。

总方案数就是C(n*m,3)

不能构成的有两种情况

1）三个点都在同一条与水平面平行或垂直的线上 C(n,3)*m+C(m,3)*n

2）对于一条任意长度的斜线，设其两端坐标为(1,1) (a,b)，那么斜线上格点的个数就是gcd(a-1,b-1)+1，在整个矩形中这样的斜线会有（n-a+1）*（m-b+1）条，但是直接在这条斜线上任取三个点会有重复，所以钦定两个端点必须取，中间任取一个点

注意有斜线有两个方向，这样的要减两倍

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+'0'); return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+'0');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('
')
ll n,m;
inline ll gcd(ll x,ll y)
{
    return (!y)?(x):(gcd(y,x%y));
}
int main()
{
    ll i,j,ans=0,Sum=0;
    n=read()+1; m=read()+1;
    ans=(n*m)*(n*m-1)*(n*m-2)/6;
    ans-=m*n*(n-1)*(n-2)/6;
    ans-=n*m*(m-1)*(m-2)/6;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        for(j=2;j<=m;j++)
        {
            ll tmp=gcd(i-1,j-1)+1;
            if(tmp>2) Sum+=(tmp-2)*(n-i+1)*(m-j+1);
        }
    }
    Wl(ans-(Sum<<1));
    return 0;
}
/*
input
2 2
output
76

input
6 9
output
52758
*/