RMQ和LCA

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询

查询很多的时候求[l,r]的最大值可以弄一个数组f[i,j]表示i~j的最大值

//这个是线段树

rmq是f[i,j]表示   i 到 i+2^j-1 这个区间的最大值

/*给例子好理解

 比如f[i,0]  =  a[i]  然后先要预处理这个f  方法是DP

 f[i,j] = max( f[i,j-1] , f[ i + (1<<j-1) , j-1] )

相当于是二分

比如  2,4其实是2,18

那么 2~ 18 中间有16个数
我们求2~18的最值等于 2~10 和 11~18的最值的

最值用 rmq表示就是f[2,3]

初始化条件就是f[i,0]=a[i]

有了初始化有了动态转移方程就可以得到f了

现在假设来了一个请求 l~r

那么我们先要得到一个区间的大小就是r-l+1

找到一个K
这个K是 2^K<=r-l+1 的最大的K
然后就是ans=  max( f[l,k], f[r-(1<<k)+1,k])

假设是2~20区间长度是19K=4

就是 f[2,4]  f[4,4]

换成线段树的表示就是
f[2,18] f[4,20]
这2段的最值就是f[2,20]的最值了
虽然有重复的部分 但是不影响

*/

 

 

 

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LCA（最近公共祖先）

 

LCA就是把问题转化为RMQ

转化过程如下：

一棵树，我们对它先进行DFS，记录下路径

比如上图的这颗树（图来自百度，侵删）

DFS的结果是1 3 1 2 4 2 5 6 5 7

深度就是1 2 1 2 3 2 3 4 3 4

仔细想想会得到求 i~j 的路径就是上面那个路径的子集 

//其实这个路径没写完整 后面还有1 3 1 2 4 2 5 6 5 7 5 2 1

 

 

记录深度和路径以及每一个节点第一次到达的时候一共走了几步

 //对于1 2 3 4 5 6 7来说 他们分别是1 4 2 5 7 8 10

然后问题要求是求路径

比如求4 ~7  查一下
4第一次出现是5
7第一次出现是10
那么问题就是求1 3 1 2 4 2 5 6 5 7 5 2 1这个里面的第五个到第十个4 2 5 6 5 7

深度对应的是这6个数字 3 2 3 4 3 4

深度最小的那个就是他们的公共父节点

深度为2的那个路径上的2

问题就变成了求区间

假设：

路径是path[] 深度是dep[] 首次出现是first[]

求i~j就变成了f [ dep [ first[ i ] ] , dep [ first[ j ] ] ]

 

假设结果是 __min
在这段区间上搜索一下
if f[i]= __ min
那么保存i
公共父节点就是 path [ i ]