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  • 集合的划分——递归与函数自调用算法

    题目描述 Description
    设S是一个具有n个元素的集合,S={a1,a2,……,an},现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1,S2,……,Sk ,且满足:
    则称S1,S2,……,Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1 ,a2,……,an 放入k个(0<k≤n<30=无标号的盒子中,使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1 ,a2 ,……,an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)
    输入输出格式 Input/output
    输入格式:
    一个正整数K。
    输出格式:
    一个正整数N。
     输入输出样例 Sample input/output
    样例测试点#1
    输入样例:
    23 7
    输出样例:
    4382641999117305
    思路:
    先举个例子,设S={1,2,3,4},k=3,不难得出S有6种不同的划分方案,即划分数S(4,3)=6,具体方案为:
    {1,2}∪{3}∪{4}  {1,3}∪{2}∪{4}    {1,4}∪{2}∪{3}
    {2,3}∪{1}∪{4}  {2,4}∪{1}∪{3}    {3,4}∪{1}∪{2}
    考虑一般情况,对于任意的含有n个元素a1 ,a2,……,an的集合S,放入k个无标号的盒子中去,划分数为S(n,k),我们很难凭直觉和经验计算划分数和枚举划分的所有方案,必须归纳出问题的本质。其实对于任一个元素an,则必然出现以下两种情况:
    1、{an}是k个子集中的一个,于是我们只要把a1,a2,……,an-1 划分为k-1子集,便解决了本题,这种情况下的划分数共有S(n-1,k-1)个;
    2、{an}不是k个子集中的一个,则an必与其它的元素构成一个子集。则问题相当于先把a1,a2,……,an-1 划分成k个子集,这种情况下划分数共有S(n-1,k)个;然后再把元素an加入到k个子集中的任一个中去,共有k种加入方式,这样对于an的每一种加入方式,都可以使集合划分为k个子集,因此根据乘法原理,划分数共有k * S(n-1,k)个
    综合上述两种情况,应用加法原理,得出n个元素的集合{a1,a2,……,an}划分为k个子集的划分数为以下递归公式:S(n,k)=S(n-1,k-1) + k * S(n-1,k) (n>k,k>0)。
    下面,我们来确定S(n,k)的边界条件,首先不能把n个元素不放进任何一个集合中去,即k=0时,S(n,k)=0;也不可能在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去,即k>n时,S(n,k)=0;再者,把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合,方案数显然都是1,即k=1或k=n时,S(n,k)=1。
    因此,我们可以得出划分数S(n,k)的递归关系式为:
    S(n,k)=S(n-1,k-1) + k * S(n-1,k)      (n>k,k>0)
    S(n,k)=0            (n<k)或(k=0)
    S(n,k)=1            (k=1)或(k=n)
    代码如下:
     1 #include <stdio.h>
     2 int jihe(int n,int k)//数据还有可能越界,请用高精度计算
     3 {
     4     if((n<k)||(k==0)) return 0;
     5     else if((k==1)||(k==n)) return 1;
     6     else return jihe(n-1,k-1)+k*jihe(n-1,k);    
     7 }
     8 int main()
     9 {
    10     int n,k;
    11     scanf("%d%d",&n,&k);
    12     printf("%d
    ",jihe(n,k)); 
    13     return 0;
    14 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/geek-007/p/4471372.html
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