P4389 付公主的背包

题意描述

洛谷·

付公主有一个可爱的背包qwq。

这个背包最多可以装 (10^5) 大小的东西

付公主有 (n) 种商品，她要准备出摊了

每种商品体积为 (v_i)，都有无限件

给定 (m)，对于 (sin [1,m])，请你回答用这些商品恰好装 (s) 体积的方案数。

数据范围：(n,mleq 10^5,v_ileq 10^5)

solution

多项式+生成函数。

首先一件物品的生成函数显然为：(displaystyle 1+x^{v_i}+x^{2v_i}+x^{3v_i}+cdots) ，写成封闭形式为 (displaystyle 1over 1-x^{v_i})

恰好装 (s) 体积的方案数的生成函数 (F(x)) ,显然是每个物品的生成函数卷起来之后的结果，即 (displaystyle F(x) = prod_{i=1}^{n} {1over 1-x^{v_i}})

考虑怎么求 (F(x)), 这玩意暴力展开的会比跑完全背包的复杂度还要差。

不妨考虑先求出 (ln F(x)), 在 (exp) 回去就可以得到 (F(x)) 。

显然有：(displaystyle ln F(x) = sum_{i=1}^{n} ln({1over 1-x^{v_i}})) 。

那么我们的问题就转化为了怎么求 (displaystyle ln({1over1-x^{v_i}})) 。

设 (G(x) = ln ({1over 1-x^{v_i}})), 对两边同时求导可得：

(displaystyle G^{prime}(x) = ln^{prime}({1over 1-x^{v_i}}))

(displaystyle G^{prime}(x) = (1-x^{v_i}){({1over 1-x^{v_i}})^{prime}})

我们把 ({1over 1-x^{v_i}}) 写成无穷项求和的形式来求导即：

(displaystyle ({1over 1-x^{v_i}})^{prime} = (sum_{j=0}^{infin} x^{jv_i})^{prime} = sum_{j=0}^{infin} jv_i imes x^{jv_i-1})

把他带回去可得:

(displaystyle G^{prime}(x) = left(1-x^{v_i} ight) sum_{j=0}^{infin} jv_i imes x^{jv_i-1})

(displaystyle G^{prime}(x) = sum_{j=0}^{infin} jv_i imes x^{jv_i-1} - sum_{j=0}^{infin} jv_i imes x^{(j+1)v_i-1})

因为 (j = 0) 的时候 (jv_i imes x^{jv_i-1} = 0) ，所以我们可以把第一个 (sigma) 中的下标改为从 (1) 开始，至于第二个 (sigma) 我们可以把下标平移，也变为了从 (1) 开始。

(displaystyle G^prime(x) = sum_{j=1}^{infin} jv_i imes x^{jv_i-1} - sum_{j=1}^{infin} (j-1)v_i imes x^{jv_i-1})

(displaystyle G^{prime}(x) = sum_{j=1}^{infin} v_i imes x^{jv_i-1})

把 (G^{prime}(x)) 积分回去，就可以得到 (G(x)) 即：

(displaystyle G(x) = int G^{prime}(x)\,dx)

(displaystyle G(x) = intleft(sum_{j=1}^{infin} v_i imes x^{jv_i-1} ight)\,dx)

(displaystyle G(x) =sum_{j=1}^{infin} {x^{jv_i}over j})

则：(displaystyle ln F(x) = sum_{i=1}^{n}sum_{j=0}^{infin} {x^{jv_i}over j})

对于每个 (v_i), 我们枚举它的倍数，给他倍数位置加上对应的系数，这样的复杂度是调和级数的。

求出来 (ln F(x)) 之后，我们直接 (exp) 回去即可。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int p = 998244353;
const int N = 1e6+10;
int n,m,x,rev[N],a[N],b[N],c[N],A[N],invA[N],invB[N],inv[N],v[N];
inline int read()
{
    int s = 0,w = 1; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return s * w;
}
int ksm(int a,int b)
{
    int res = 1;
    for(; b; b >>= 1)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
    }
    return res;
}
void NTT(int *a,int lim,int opt)
{
    for(int i = 0; i < lim; i++)
    {
        if(i < rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    }
    for(int h = 1; h < lim; h <<= 1)
    {
        int wn = ksm(3,(p-1)/(h<<1));
        if(opt == -1) wn = ksm(wn,p-2);
        for(int j = 0; j < lim; j += (h<<1))
        {
            int w = 1;
            for(int k = 0; k < h; k++)
            {
                int u = a[j + k];
                int v = w * a[j + h + k] % p;
                a[j + k] = (u + v) % p;
                a[j + h + k] = (u - v + p) % p;
                w = w * wn % p;
            }
        }
    }
    if(opt == -1)
    {
        int inv = ksm(lim,p-2);
        for(int i = 0; i < lim; i++) a[i] = a[i] * inv % p;
    }
}
void Inv(int n,int *a,int *b)
{
    if(n == 1)
    {
        b[0] = ksm(a[0],p-2);
        return;
    }
    Inv((n+1)>>1,a,b);
    int lim = 1, tim = 0;
    while(lim < (n<<1)) lim <<= 1, tim++;
    for(int i = 0; i < lim; i++) rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(tim-1));
    for(int i = 0; i < n; i++) c[i] = a[i];
    for(int i = n; i < lim; i++) c[i] = 0;
    NTT(b,lim,1); NTT(c,lim,1);
    for(int i = 0; i < lim; i++) b[i] = (2 * b[i] % p - b[i] * b[i] % p * c[i] % p + p) % p;
    NTT(b,lim,-1);
    for(int i = n; i < lim; i++) b[i] = 0;
}
void qiudao(int n,int *a,int *b)
{
    for(int i = 0; i < n-1; i++) b[i] = a[i+1] * (i+1) % p;
    b[n-1] = 0;
}
void jifen(int n,int *a,int *b)
{
    for(int i = 1; i < n; i++) b[i] = a[i-1] * inv[i] % p;
    b[0] = 0; 
}
void Ln(int n,int *a,int *b)
{
    qiudao(n,a,A); Inv(n,a,invA);
    int lim = 1, tim = 0;
    while(lim < (n<<1)) lim <<= 1, tim++;
    for(int i = 0; i < lim; i++) rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(tim-1));
    NTT(A,lim,1); NTT(invA,lim,1);
    for(int i = 0; i < lim; i++) A[i] = A[i] * invA[i] % p;
    NTT(A,lim,-1); jifen(n,A,b);
    for(int i = 0; i < lim; i++) A[i] = invA[i] = 0;
}
void Exp(int n,int *a,int *b)
{
    if(n == 1)
    {
        b[0] = 1;
        return;
    }
    Exp((n+1)>>1,a,b);
    Ln(n,b,invB);
    int lim = 1, tim = 0;
    while(lim < (n<<1)) lim <<= 1, tim++;
    for(int i = 0; i < lim; i++) rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(tim-1));
    for(int i = 0; i < n; i++) c[i] = a[i];
    for(int i = n; i < lim; i++) c[i] = 0;
    NTT(invB,lim,1); NTT(b,lim,1); NTT(c,lim,1);
    for(int i = 0; i < lim; i++) b[i] = (1 - invB[i] + c[i] + p) % p * b[i] % p;
    NTT(b,lim,-1);
    for(int i = n; i < lim; i++) b[i] = 0;
    for(int i = 0; i < lim; i++) invB[i] = 0;
}
signed main()
{
    n = read(); m = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++) v[read()]++;
    for(int i = 1; i <= m; i++) inv[i] = ksm(i,p-2);
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        if(!v[i]) continue;
        for(int j = 1; i * j <= m; j++) a[i * j] = (a[i * j] + v[i] * inv[j] % p) % p;
    }
    Exp(m+1,a,b);
    for(int i = 1; i <= m; i++) printf("%lld
",b[i]);
    return 0;
}