概率论与数理统计图式（第三章 多维随机变量）
1、二位随机变量及其分布
1）二维随机变量定义
设随机试验E 的样本空间为Ω，对于每一样本点ω∈Ω ，有两个实数 X (Ω), Y (Ω) 与之对应，称它们构成的有序数组 ( X , Y ) 为 二维随机变量。
注：对二维随机变量( X, Y )来说， X，Y 都是定义在Ω上的一维随机变量.
随机事件事件——>随机变量的取值范围，x:{X<=x},Fx(x)
2）联合分布函数
（1）联合分布函数几何意义
平面随机点( X, Y ) 落入以(x, y)为顶点的左下方区域的概率。
（2）联合分布函数的性质
- 单调不减性
- 非负有界性
- 右连续性
- 相容性
3）边缘分布函数
（1）定义：称X、Y各自的分布函数 FX(x) 与 FY(y) 为( X, Y ) 的边缘分布函数。
（2）由联合分布函数可确定边缘分布函数：
2、联合分布律
用边缘分布律不一定能确定联合分布律！
原因：多维随机变量的联合分布不仅与每个变量的边缘分布有关，而且还与每个变量之间的联系有关！两个随机变量X,Y不等同于二维随机变量(X,Y)!
3、联合概率密度
（1）联合概率密度的物理解释：概率在(x, y)处的面密度.
（2）联合概率密度曲面
（3）f(x)满足
非负性和规范性
对边缘概率密度的求解，就是固定y对x求积分，实质上是求带参变量的积分。
难点: 积分上下限的确定!——对于 y 取不同的值，f Y ( y )的积分上下限是不相同的。
可通过图形来帮助解决这个问题。
4、二维均匀分布
1）记为(X,Y)~U(G)
5、二维正态分布
1）二元正态分布，不用背公式，要记参数。
2）记为
，σ1，σ2>0，|ρ|<1
3) 边缘分布相关
- 二维正态分布的边缘分布还是正态分布
- 边缘分布都是正态分布，其联合分布却未必是正态分布
- 边缘分布函数不能推导联合分布函数，因为缺少参数ρ，若ρ=0（x,y相互独立）可推
6、随机变量的独立性
1）二维随机变量独立性
1》定义： ( X , Y )是二维随机变量, 若对任意实数对( x , y )均有
成立，称 X与Y相互独立
2》对随机变量相互独立的理解：随机变量X与Y的取值互相之间没有影响；随机事件{ X ≤ x }与随机 事件{ Y ≤ y } 相互独立。随机变量的独立性本质上是事件的独立性
3》随机变量相互独立的等价条件：
2）多维随机变量独立性
1》定理：若n维随机变量（X1 ,X2,…，Xn ) 相互独立，则
-
随机变量 g1(X1), g2(X2),…, gn(Xn) 也相互独立.
-
随机变量 h (X1 ,X2,…,Xm ) 与g(Xm+1 ,Xm+2,…,Xn ) 也相互独立.
2》若要判断不相互独立，则只需找到一组a, b使定义式不成立即可。
7、条件分布
1）条件分布律
在X=xi的条件下,随机变量Y 的条件分布律：
2）条件概率密度
1》在随机变量Y＝ y 的条件下, 考虑随机变量X 的条件分布函数为
2》由于不能保证 P {Y=y }> 0，所以在一般情况下, 不能用条件概率的定义来直接定义条件分布函数。这时需采用极限的方法来定义条件分布函数。
1>Y=y的条件下,随机变量X 的条件分布函数.记作 FX|Y(x |y)
2>结论： 设(X,Y)是连续型随机变量, 且满足f (x, y), fY ( y) 在(x, y)附近连续, 且 fY ( y) > 0 则有
3》条件概率密度
4》如何判断两个连续型随机变量X,Y 相互独立
5》联合分布、边缘分布、条件分布三者之间的关系 
一个条件分布和相应的边缘分布能唯一确定联合分布.
6》分布联系
二维均匀分布的条件分布还是均匀分布；
二维正态分布的条件分布还是正态分布；
8、随机变量的函数及其分布
1）以随机变量为自变量的函数。
2）离散型随机变量的函数及其分布律
1》离散型随机变量分布律
2》可加性
- 二项分布具有可加性
-
结论： 二项分布随机变量可等价表示为多个独立0-1分布随机变量之和！
-
-
泊松分布具有可加性
3）连续型随机变量的函数及其概率密度
1》连续型随机变量的函数及其概率密度的定理
- 分布函数法
- 反函数法
4）例题