Java数据结构与算法 day08 树结构实际应用(一)

文章目录

• 第10章 树结构实际应用
• 堆排序
• 大顶堆和小顶堆图解说明
• 堆排序的思路图解与实现
• 赫夫曼树
• 赫夫曼树的基本介绍
• 赫夫曼树创建步骤图解与实现

第10章 树结构实际应用

本章源码：https://github.com/name365/Java-Data-structure

堆排序

大顶堆和小顶堆图解说明

堆排序基本介绍

1.堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。
2.堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆, 注意 : 没有要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。
3.每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆
4.大顶堆举例说明

对堆中的结点按层进行编号，映射到数组中就是下面这个样子:

大顶堆特点：arr[i] >= arr[2*i+1] && arr[i] >= arr[2*i+2]  // i 对应第几个节点，i从0开始编号7

• 小顶堆举例说明

小顶堆：arr[i] <= arr[2*i+1] && arr[i] <= arr[2*i+2] // i 对应第几个节点，i从0开始编号

综上：一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆

---

堆排序的思路图解与实现

堆排序基本思想

1.将待排序序列构造成一个大顶堆
2.此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
3.将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。
4.然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

可以看到在构建大顶堆的过程中，元素的个数逐渐减少，最后就得到一个有序序列了.

要求:给你一个数组 {4,6,8,5,9} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。

堆排序步骤图解说明:

步骤一:构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。原始的数组[4,6,8,5,9]

• 假设给定无序序列结构如下 :

• 此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

• 找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

• 这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

• 此时，就将一个无序序列构造成了一个大顶堆。

步骤二:将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换,得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

• 将堆顶元素9和末尾元素4进行交换 。

• 重新调整结构，使其继续满足堆定义。

• 再将堆顶元素 8 与末尾元素 5 进行交换，得到第二大元素 8。

• 后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序。

对上述思路进行总结:
1.将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆; 
2.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端; 
3.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤， 直到整个序列有序。

核心代码说明:

public static void adHeap(int arr[],int i,int length){
		int temp = arr[i];	//先取出当前元素的值,保存在临时变量
		//说明:
		//1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点
		for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){
			if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){	//说明左子节点的值小于右子节点的值
				j++;	//j指向右子节点
			}
			if(arr[j] > temp){ //如果子节点大于父结点
				arr[i] = arr[j];	//将较大的值赋给当前节点
				i = j;	//让i指向j,继续循环
			}else{
				break;
			}
			//当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)
			arr[i] = temp;	//将temp值放到调整后的位置
		}
	}

初始情况:

arr = {4,6,8,5,9}

当 i = 1 时:

首先，当temp=arr[i] ==> temp=6;进入for循环，j=i*2+1 ==> j=3,

进入if判断，执行j++,即j指向右子节点，j=4；

arr[j] ==> arr[4] 即: arr[j]为9，

此时，arr[j] > temp ==> 9 > 6，进入判断

此时，子节点大于父节点，

而此时 i=1，j=4，即arr[i]=arr[j]进行赋值，arr[i] = arr[j] ==> arr[1]=9，将6替换成9。

i=j ==> i=4 ,继续让i指向j,因为节点可能下面还有节点，继续执行循环.

但此时 j=4 ,经过循环赋值语句，j=9,temp=6，不符合判断条件，直接执行 arr[i] = temp ==> arr[4]=6;

上述过程代码化实现：

import java.util.Arrays;

public class HeapSort {

	public static void main(String[] args) {
		//要求:将数组进行升序排序
		int arr[] = {4,6,8,5,9};
		headSort(arr);
	}
	
	//编写一个堆排序的方法
	public static void headSort(int arr[]){
		System.out.println("堆排序:");
		
		//分布完成
		adHeap(arr,1,arr.length);
		System.out.println("第一次:" + Arrays.toString(arr)); //4,9,8,5,6
		
		adHeap(arr,0,arr.length);
		System.out.println("第二次:" + Arrays.toString(arr)); //9,6,8,5,4

	}
	
	//将一个数组(二叉树),调整成一个大顶堆
	/**
	  * 功能: 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆
	  * 举例: int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6}
	  * 如果我们再次调用  adHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5,4}
	  * @Description 
	  * @author subei
	  * @date 2020年6月8日上午10:29:31
	  * @param arr 待调整的数组
	  * @param i 非叶子结点的索引
	  * @param length 表示对多少个元素进行调整
	 */
	public static void adHeap(int arr[],int i,int length){
		int temp = arr[i];	//先取出当前元素的值,保存在临时变量
		//说明:
		//1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点
		for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){
			if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){	//说明左子节点的值小于右子节点的值
				j++;	//j指向右子节点
			}
			if(arr[j] > temp){ //如果子节点大于父结点
				arr[i] = arr[j];	//将较大的值赋给当前节点
				i = j;	//让i指向j,继续循环
			}else{
				break;
			}
			//当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)
			arr[i] = temp;	//将temp值放到调整后的位置
		}
	}
}

---

最终完整代码实现如下:

import java.util.Arrays;

public class HeapSort2 {

	public static void main(String[] args) {
		//要求:将数组进行升序排序
		int arr[] = {4,6,8,5,9};
		headSort(arr);
	}
	
	//编写一个堆排序的方法
	public static void headSort(int arr[]){
		System.out.println("堆排序:");
		int temp = 0;
		//完成我们最终代码
		//1.将无序序列构建成一个堆,根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
		for(int i=arr.length / 2 - 1;i >= 0;i--){
			adHeap(arr,i,arr.length);
		}
		System.out.println("步骤一的数组排序结果=" + Arrays.toString(arr));
		
		//2.将堆顶元素与末尾元素交换,将最大元素"沉"到数组末端;
		//3.重新调整结构,使其满足堆定义,然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素,反复执行调整+交换步骤,直到整个序列有序。
		for(int j=arr.length - 1;j >0 ;j--){
			//交换
			temp=arr[j];
			arr[j]=arr[0];
			arr[0]=temp;
			adHeap(arr, 0, j); 
		}
		System.out.println("最后的数组排序结果=" + Arrays.toString(arr));
	}
	
	//将一个数组(二叉树),调整成一个大顶堆
	/**
	  * 功能: 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆
	  * 举例: int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6}
	  * 如果我们再次调用  adHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5,4}
	  * @Description 
	  * @author subei
	  * @date 2020年6月8日上午10:29:31
	  * @param arr 待调整的数组
	  * @param i 非叶子结点的索引
	  * @param length 表示对多少个元素进行调整
	 */
	public static void adHeap(int arr[],int i,int length){
		int temp = arr[i];	//先取出当前元素的值,保存在临时变量
		//说明:
		//1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点
		for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){
			if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){	//说明左子节点的值小于右子节点的值
				j++;	//j指向右子节点
			}
			if(arr[j] > temp){ //如果子节点大于父结点
				arr[i] = arr[j];	//将较大的值赋给当前节点
				i = j;	//让i指向j,继续循环
			}else{
				break;
			}
			//当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)
			arr[i] = temp;	//将temp值放到调整后的位置
		}
	}
}

---

对上述堆排序进行速度测试：

import java.text.SimpleDateFormat;
import java.util.Date;

public class HeapSort2 {

	public static void main(String[] args) {
		//要求:将数组进行升序排序
		
		//创建要给80000个的随机的数组
		int[] arr = new int[8000000];
		for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
			arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
		}

		System.out.println("排序前");
		Date data1 = new Date();
		SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
		String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
		System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
		
		headSort(arr);
		
		Date data2 = new Date();
		String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
		System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);
	}
	
	//编写一个堆排序的方法
	public static void headSort(int arr[]){
		System.out.println("堆排序:");
		int temp = 0;
		//完成我们最终代码
		//1.将无序序列构建成一个堆,根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
		for(int i=arr.length / 2 - 1;i >= 0;i--){
			adHeap(arr,i,arr.length);
		}
		
		//2.将堆顶元素与末尾元素交换,将最大元素"沉"到数组末端;
		//3.重新调整结构,使其满足堆定义,然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素,反复执行调整+交换步骤,直到整个序列有序。
		for(int j=arr.length - 1;j >0 ;j--){
			//交换
			temp=arr[j];
			arr[j]=arr[0];
			arr[0]=temp;
			adHeap(arr, 0, j); 
		}
	}
	
	//将一个数组(二叉树),调整成一个大顶堆
	/**
	  * 功能: 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆
	  * 举例: int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6}
	  * 如果我们再次调用  adHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5,4}
	  * @Description 
	  * @author subei
	  * @date 2020年6月8日上午10:29:31
	  * @param arr 待调整的数组
	  * @param i 非叶子结点的索引
	  * @param length 表示对多少个元素进行调整
	 */
	public static void adHeap(int arr[],int i,int length){
		int temp = arr[i];	//先取出当前元素的值,保存在临时变量
		//说明:
		//1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点
		for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){
			if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){	//说明左子节点的值小于右子节点的值
				j++;	//j指向右子节点
			}
			if(arr[j] > temp){ //如果子节点大于父结点
				arr[i] = arr[j];	//将较大的值赋给当前节点
				i = j;	//让i指向j,继续循环
			}else{
				break;
			}
			//当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)
			arr[i] = temp;	//将temp值放到调整后的位置
		}
	}
}

赫夫曼树

赫夫曼树的基本介绍

给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度(wpl)达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree), 还有的书翻译为霍夫曼树。

赫夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

赫夫曼树几个重要概念和举例:

1.路径和路径长度：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1
2.结点的权及带权路径长度：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积

3.树的带权路径长度：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL(weighted path length) ,权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。
4.WPL最小的就是赫夫曼树

赫夫曼树创建步骤图解与实现

要求:给你一个数列 {13, 7, 8, 3, 29, 6, 1}，要求转成一颗赫夫曼树.

构成赫夫曼树的步骤：

1. 从小到大进行排序, 将每一个数据，每个数据都是一个节点 ， 每个节点可以看成是一颗最简单的二叉树

2. 取出根节点权值最小的两颗二叉树

3. 组成一颗新的二叉树, 该新的二叉树的根节点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和

4. 再将这颗新的二叉树，以根节点的权值大小 再次排序， 不断重复 1-2-3-4 的步骤，直到数列中，所有的数据都被处理，就得到一颗赫夫曼树

赫夫曼树创建代码实现

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;

public class HuffTreeTest {

	public static void main(String[] args) {
		int arr[] = { 13, 7, 8, 3, 29, 6, 1 };
		Node root = creatHFTree(arr);

		preOrder(root);
	}

	// 前序遍历方法
	public static void preOrder(Node root) {
		if (root != null) {
			root.preOrder();
		} else {
			System.out.println("这是一个空树。无法遍历");
		}
	}

	// 创建赫夫曼树的方法
	public static Node creatHFTree(int[] arr) {
		// 第一步,为了操作方法
		// 1.遍历 arr 数组
		// 2.将arr的每个元素构成一个Node
		// 3.将Node 放入到ArrayList中
		List<Node> nodes = new ArrayList<Node>();
		for (int value : arr) {
			nodes.add(new Node(value));
		}

		// int count = 0; //统计处理次数

		// 处理的过程是循环的过程
		while (nodes.size() > 1) {

			// 排序:从小到大排序
			Collections.sort(nodes);

			// System.out.println("第" + count + "次排序后的结果:nodes = " + nodes);

			// 取出根节点权值最小的两颗二叉树
			// (1)取出权值最小的结点(二叉树)
			Node leftNode = nodes.get(0);
			// (1)取出权值另一个最小的结点(二叉树)
			Node rightNode = nodes.get(1);

			// (3)构建一个新的二叉树
			Node parents = new Node(leftNode.value + rightNode.value);
			parents.left = leftNode;
			parents.right = rightNode;

			// (4)从ArrayList删除处理过的二叉树
			nodes.remove(leftNode);
			nodes.remove(rightNode);

			// (5)将parent加入到nodes
			nodes.add(parents);

			// count++;
			// System.out.println("第" + count + "次处理后的结果:" + nodes);
		}

		// 返回赫夫曼树的root结点
		return nodes.get(0);
	}

}

// 创建结点类
// 为了让Node 对象持续排序Collections集合排序
// 让Node 实现Comparable接口
class Node implements Comparable<Node> {
	int value; // 结点权值
	Node left; // 指向左子结点
	Node right; // 指向右子结点

	public Node(int value) {
		this.value = value;
	}

	@Override
	public String toString() {
		return "Node [value=" + value + "]";
	}

	@Override
	public int compareTo(Node o) {
		// 表示从小到大排序
		return this.value - o.value;
	}

	// 前序遍历
	public void preOrder() {
		// 当前结点
		System.out.println(this);
		// 左子结点
		if (this.left != null) {
			this.left.preOrder();
		}
		// 右子结点
		if (this.right != null) {
			this.right.preOrder();
		}
	}
}