【笔记】Volume Rendering Compositing Function

Volume Rendering

感性理解

感性理解：三维空间划分成很多体素，每个体素有RGBA四种信息，表示颜色（RGB）和透明度（A）

要渲染二维表示，我们选定坐标原点，以它为球心发出很多射线

每条射线会穿过一些体素，我们沿着光线的路径进行颜色的加权统计（权重为不透明度）

每个体素对最终颜色会造成\((1-\alpha)\mathbf {color}\)​​的影响（不透明度可视作概率，乘以颜色）

最终得到所有颜色的累计，即得到所求的颜色

公式推导

光强部分

考虑射线穿过的一个圆柱体，里面包含一些粒子，其半径为r，视面积为A

设其中粒子的密度为\(\rho(s)\)​，考虑一小段长度\(\Delta s\)​​，粒子数

\[N=E\Delta s\rho (s) \]

当\(\Delta s \rightarrow 0\)，我们认为粒子不会发生重叠，此时粒子所占面积

\[E_{eff}=E\Delta s\rho(s)A \]

那么，其不透明度\(\alpha\)可以认为是

\[\alpha = \dfrac{E_{eff}}{E}=\Delta s \rho (s) A \]

一束射线，原本光强为\(I(s)\)​，通过这一小段距离\(\Delta s\)后，光强\(I(s+\Delta s)=(1-\alpha)I(s)\)

理解为，光线有\(\alpha\)​的概率撞到小球，之后光强为0，有\((1-\alpha)\)的概率穿过，之后光强不变

那么当\(\Delta s\)无限趋近0时，有极限形式

\[\dfrac{dI(s)}{ds}=-A\rho(s)I(s) \]

设\(\sigma(s)=A\rho(s)\)，表征圆柱体的特性

那么有

\[\dfrac{dI(s)}{ds}=-\sigma(s)I(s) \]

这是一个微分方程，且可以分离变量

\[\dfrac{1}{I(s)}dI(s)=-\sigma(s)ds \]

两边积分得

\[\ln I(s) = \int_0^{s} -\sigma(t)dt \]

也就是

\[I(s)= I(0) \exp({ \int_0^{s} -\sigma(t)dt}) \]

令\(T(s)=\exp({ \int_0^{s} -\sigma(t)dt})\)​​，表征的是从原点到s的总透明度（光强剩余百分比），有

\[I(s)=I(0)T(s) \]

令\(F(s)=1-I(s)\)，用来表示原点到s的总不透明度

那么\(F'(s)\)​​就能表示s点附近瞬间的不透明度（类似3Blue1Brown，微积分的本质里，积分上界函数的导数）

\(F'(s)=I(s)\sigma(s)\)​

颜色部分

现在有了关于单色光的光强的式子，我们要的是沿着这条光线看到颜色的期望

\[E(\mathbf c) = \int_{0}^{\infty} F'(s)\mathbf c(s)ds \]

也就是

\[E(\mathbf c) = \int_{0}^{\infty} I(s)\sigma(s)\mathbf{c}(s)ds \]

这就是最终渲染出来的颜色！

离散处理

计算机操作需要离散的做法，采用均匀采样\(t_1\)​到\(t_n\)​共n个点，间距\(\delta_i=t_{i+1}-t_i\)​

\[T(s)=\exp({ \int_0^{s} -\sigma(t)dt}) \]

改写为

\[T(t_i)= \exp({\sum\limits_{j=1}^{i-1}-\sigma({t_j)\delta_j}}) \]

同样将

\[T(s)=\exp({ \int_0^{s} -\sigma(t)dt}) \]

改写为

\[\begin{aligned} E(\mathbf c) &= \sum\limits_{i=1}^{n-1}(F(t_{i+1})-F(t_i))\mathbf{c}(t_i)\\ &= \sum\limits_{i=1}^{n-1}(T(t_{i})-T(t_{i+1}))\mathbf{c}(t_i)\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n-1}T(t_i)(1-\exp({-\sigma(t_i)\delta_i)\mathbf{c}(t_i)})\\ \end{aligned} \]