错排问题
错排问题是组合数学发展史上的一个重要问题，错排数也是一项重要的数。令
的一个错排，如果每个元素都不在其对应下标的位置上，即
，那么这种排列称为错位排列，或错排、重排（Derangement）。
我们从分析1 2 3 4的错排开始：
1 2 3 4的错排有:
4 3 2 1，4 1 2 3，4 3 1 2，
3 4 1 2，3 4 2 1，2 4 1 3，
2 1 4 3，3 1 4 2，2 3 4 1。
第一列是4分别与123互换位置，其余两个元素错排。
1 2 3 4->4 3 2 1，
1 2 3 4->3 4 1 2，
1 2 3 4-> 2 1 4 3
第2列是4分别与312（123的一个错排）的每一个数互换
3 1 2 4->4 1 2 3，
3 1 2 4->3 4 2 1，
3 1 2 4->3 1 4 2
第三列则是由另一个错排231和4换位而得到
2 3 1 4->4 3 1 2，
2 3 1 4->2 4 1 3，
2 3 1 4->2 3 4 1
上面的分析结果，实际上是给出一种产生错排的结果。
递归关系
为求其递推关系，分两步走：
第一步，考虑第n个元素，把它放在某一个位置，比如位置k，一共有n-1种放法；
第二步，考虑第k个元素，这时有两种情况：（1）把它放到位置n，那么对于除n以外的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，所以剩下n-2个元素的错排即可，有 
种放法；（2）第k个元素不放到位置n，这时对于这n-1个元素的错排，有 
种放法。
根据乘法和加法法则，综上得到
特殊地，
。
此外，存在
因此，
。
引用于：https://baike.baidu.com/item/%E9%94%99%E6%8E%92%E9%97%AE%E9%A2%98/3849290?fr=aladdin