思维题（两点逼近）LeetCode11 Container with Most Water

Given n non-negative integers a1, a2, ..., an, where each represents a point at coordinate (i, ai). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, ai) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.

给定n条线段，每条线段的端点为(i,0)和(i,a[i])，现在需要在这n条线段中选择两条并与x轴组成一个水桶，求最大容量的水桶的容量（面积）。

暴力的方法就是直接枚举两条线段，找最大面积，这样复杂度是O(n^2)的。（没想到leetOJ居然还有稍强的数据，感觉是故意卡死这个复杂度的方法的。。）

我换了一个思路后，想到由于最后的最大面积一定是以某一个线段为桶的一侧（可能是左侧或者右侧）并且刚好淹没这条线段，那我们只需要枚举每条线段，然后找出这条线段左侧（或者右侧）比它高的最左（最右）的一个线段的位置，然后计算面积，并记录最大面积即可。

找到左侧比当前线段要高的最左侧线段的方法，可以直接将每个线段先按高度从大到小，再按坐标从小到大排序，然后扫描数组，记录 到当前的最小坐标，由于后扫描到的线段高度一定比先扫描到的高度小，所以只需要记录前面的坐标的最小值，便是当前线段的最左侧线段的坐标。时间复杂度O(nlogn)空间O(n)。

官网给出的标准方法，由于智力有限并不能想到，但是对其正确性还是可以给出证明。方法如下：

令指针i,j指向数组的开头和结尾，然后每次选取height[i]和height[j]较小的那个指针，并将指针想中间位置移动以为，并重新计算面积。(时间复杂度O(n),空间复杂度O(1))。

虽然我不能对这个方法有比较好的启发式的思维来想到，但是我至少还是得对其正确性给出证明，我的方法如下：

令a(i,j)表示线段i和j组成的面积(即a(i,j)=(j - i) * min{height(i), height(j)}）,令DP(i,j)表示区间[i,j]的最大答案，则有：

DP(i,j) = max{DP(i+1,j), DP(i, j-1), a(i, j)}

只要证明当height(i) <= height(j)时，DP(i,j) = max{DP(i+1,j),a(i,j)}恒成立即可。

证明过程只需要分情况讨论即可：

1、若a(i,j) == DP(i,j) 这时结论显然成立。

2、若a(i,j) < DP(i,j) 

        1) 若DP(i+1, j-1) == DP(i,j)  这时，由于DP(i+1,j) >= DP(i+1, j-1)，这时结论成立。

        2) 若DP(i+1, j-1) < DP(i,j)  这时有DP(i,j) = max{DP(i+1,j), DP(i, j-1)}

            因为DP(i + 1,j) = max{DP(i+1,j-1), a(i+1,j), a(i+2, j), ... , a(j - 1, j), a(j, j)}

            同时DP(i, j - 1) = max{DP(i+1,j-1), a(i, i), a(i,i+1), a(i, i+2), ... , a(i, j - 1)}

            因为height(i) <= height(j) 所以有max{a(i, i), a(i,i+1), a(i, i+2), ... , a(i, j - 1)} <= a(i, j) < DP(i, j)恒成立。

            所以 DP(i, j) = DP(i+1, j)。得证。

public class Solution {
    public int maxArea(int[] height) {
        int maxarea = 0, l = 0, r = height.length - 1;
        while (l < r) {
            maxarea = Math.max(maxarea, Math.min(height[l], height[r]) * (r - l));
            if (height[l] < height[r])
                l++;
            else
                r--;
        }
        return maxarea;
    }
}