基础算法

大纲

一、排序

1、快速排序

//模板, 时间复杂度 O(nlogn)
//特别注意边界问题和基准点的选取
//x = q[l] 时，递归不能用 i - 1
//x = q[r] 时，递归不能用 j + 1
//一般情况下，右边界、左边界、随机点均可，但是对已经排好序的数列，取边界点会导致最坏情况，复杂度达到	O(n^2)
//所以最佳做法是取随机数，中点也不是最佳取法
//边界问题想不清楚
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;
    
    int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
    
    while(i < j)
    {
        while(q[++i] < x);
        while(q[--j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    
    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q, j + 1, r);
}

2、归并排序

//模板
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;
    
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);
    
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(q[i] <= q[j]) temp[k++] = q[i++];
        else temp[k++] = q[j++];
    }
    
    while(i <= mid) temp[k++] = q[i++];
    while(j <= r) temp[k++] = q[j++];
    
    for(i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) q[i] = temp[j];
}

二、二分

1、整数二分

//模板
bool check(int x)
{
    /*检查x是否满足某种性质*/
}
//区间[l, r]被划分为[l, mid] 和 [mid + 1, r] 时
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while(l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
//区间[l, r]被划分为[l, mid - 1] 和 [mid, r] 时
//当 l 被更新为 mid 时， mid = l + r + 1 >> 1, 如果不 +1，mid会永远被更新为l
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while(l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if(check(x)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

2、浮点数二分

//模板
bool check(double x)
{
    /*检查x是否满足某种性质*/
}

const double eps = 1e-6;// eps表示精度，一般题目要求小数点后i位， 精度就定位1e(-i-2)
double bsearch(double l, double r)
{
    while(r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(check(x)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

三、高精度

1、大数 + 大数

//引用减少拷贝时间，加快速度
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;             //进位
    }
    
    if(t) C.push_back(1);
    
    return C;
}

string a, b;
vector<int> A, B;
//逆序
for(int i = a.size()-1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
for(int i = b.size()-1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');

vector<int> C = add(A, B);
//逆序输出
for(int i = C.size()-1; i >=0; i--) printf("%d", C[i]);

//压9位，模板
const int base = 1000000000;

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        
        C.push_back(t % base);
        t /= base;
    }
    
    if(t) C.push_back(t);
    
    return C;
}

string a, b;
vector<int> A, B;
cin >> a >> b;
//s:存储压位的每一个数，j:记录位数，t:记录乘的10
for(int i = a.size()-1, s = 0, j = 0, t = 1; i >= 0; i--)
{
    s += (a[i] - '0') * t;
    j++, t *= 10;

    if(j == 9 || i == 0)
    {
        A.push_back(s);
        s = j = 0;
        t = 1;
    }
}

for(int i = b.size()-1, s = 0, j = 0, t = 1; i >= 0; i--)
{
    s += (b[i] - '0') * t;
    j++, t *= 10;

    if(j == 9 || i == 0)
    {
        B.push_back(s);
        s = j = 0;
        t = 1;
    }
}

vector<int> C = add(A, B);

cout << C.back();
for(int i = C.size()-2; i >= 0; i--) printf("%09d", C[i]);

2、大数 - 大数

//模板A-B
//判断两数的大小
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
        if(A[i] != B[i]) return A[i] > B[i];
    
    return true;
}

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    //t是借位
    for(int i = 0, t = 0; i < A.size(); i++)
    {
        t = A[i] - t;
        if(i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if(t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }
    //去前导0
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

string a, b;
vector<int> A, B;
cin >> a >> b;
//逆序
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
//比较
if(cmp(A, B))
{
    vector<int> C = sub(A, B);

    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
}
else
{
    vector<int> C = sub(B, A);

    putchar('-');
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
}

3、大数 * 小数

//模板A * b
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;
    
    for(int i = 0, t = 0; i < A.size() || t; i++)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    //去前导0
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

string a;
int b;
vector<int> A;
cin >> a >> b;
//逆序
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');

vector<int> C = mul(A, b);
//逆序输出
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);

4、大数 / 小数

//模板A / b
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    
    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;             //余数
    }
    //C已经是正确结果，但是为了保证加减乘除的一致性和去掉前导0，需要逆序 
    reverse(C.begin(), C.end());
    //去前导0
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

string a;
int b;
vector<int> A;
cin >> a >> b;
//逆序
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');

int r;
vector<int> C = div(A, b, r);
//逆序输出
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
cout << '
' << r << endl;

四、前缀和与差分

1、一维前缀和与差分

//一维前缀和
//S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
//a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]
int n;
int a[N], s[N];
//初始化前缀和
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i-1] + a[i];
//求某个区间和
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d", s[r] - s[l-1]);

// 一维差分
//给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c
//假设原数组a[]为前缀和，b[]为a[]数组差分数组
//让差分数组b[]的某一个+C， a[]的后一段全+c
int n, m;
//a[] 叫 b[]的前缀和， b[] 叫 a[] 的差分
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}
//输入原数组,同时初始化差分数组
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    scanf("%d", &a[i]);
    insert(i, i, a[i]);
}
//对一个区间内的数批量+c
while(m--)
{
    int l, r, c;
    scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
    insert(l, r, c);
}
//利用差分数组求更改后的数组(差分求前缀和)
for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i-1];
for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);
//    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = a[i-1] + b[i];
//    for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", a[i]);

2、二维前缀和与差分

//二维前缀和
//S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
//以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
//S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
int n, m;
int a[N][N], s[N][N];
//初始化前缀和
for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= m; j++)
    {
        scanf("%d", &a[i][j]);
        s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
    }
//求某个子矩阵的和
int x1, y1, x2, y2;
scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
printf("%d
", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);

//二维差分
//给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
//S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;
}
//初始化差分矩阵
for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= m; j++)
    {
        scanf("%d", &a[i][j]);
        insert(i, j, i, j, a[i][j]);
    }
//对某个子矩阵全+c
while(q--)
{
    int x1, y1, x2, y2, c;
    scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
    insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
//对差分矩阵求前缀和，得到原矩阵
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = 1; j <= m; j++)
    {
        b[i][j] += b[i][j-1] + b[i-1][j] - b[i-1][j-1];
        printf("%d ", b[i][j]);
    }
    puts("");
}

五、双指针算法

//利用i,j的某种规律，把暴力的嵌套循环（O(n^2)复杂度）优化为O(n).

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具体问题的逻辑
}

/*常见问题分类：
    (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
    (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作*/

六、位运算

lowbit(x)证明：

//n 二进制中第k为位是几
n >> k & 1
    
//lowbit(x) : 返回x的最后一位1
//如: n = 10 = 1010 , 则 lowbit(n) = 10(二进制) = 2
return x & -x
/*基本应用：
	1、x二进制中1的个数
	2、树状数组 */
//x二进制中1的个数
    while(x) x -= lowbit(x), ans++;

七、离散化

1、把所有“大值数字”（实际位置值）存入 alls，因为下标是唯一的，所以在排序的同时要去重；

2、 离散化操作：

​ 因为：对alls中的位置值已经排好序，

​ 所以：可以用二分把alls中存的 “ 实际位置值 ” 映射到 “ alls中的下标 ”， 并赋值给x

​ a[x] += C, 其中x满足alls[x] = 实际位置值

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

八、区间合并

//将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;
    //按左端点排序
    sort(segs.begin(), segs.end());
    
    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for(auto seg : segs)
   		if(ed < seg.first)
        {
            if(st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
    	else ed = max(ed, seg.second);
    
    if(st != -2e9) res.push_back({st, ed});
    
    segs = res;
}

基础算法（提高）

一、位运算——龟速乘

题目链接 ：90. 64位整数乘法

类比快速幂，将大数乘法转换成加法

LL qadd(LL a, LL b, LL p)
{
	LL res = 0;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = (res + a) % p;
        a = (a + a) % p;
        b >>= 1;
    } 
    return res;
}

二、环形均分问题(排序、中位数)

题目链接：

105. 七夕祭

122. 糖果传递

描述：n个人围成一圈，每个人手中有若干物品，可以向相邻的人传递物品，求至少需要传递多少个物品能够是每个人的物品数量都相等。

首先，要求传递最少，则不会出现两人相互传递的情况。设像上图那样单项传递（注意：(x_i)可正可负）。

则问题转化为求(|x_1| +|x_2| + ... + |x_n|)的最小值

设平均值为$ a = (a_1 + a_2 + ... + a_n) / n$（若a不为整数，显然无法操作），则可以得出：

(left{egin{aligned} a_1 - x_1 + x_2 =& a \ a_2 - x_2 + x_3 =& a \ ...& \ a_{n-1} - x_{n-1} + x_n =& a \ a_n - x_n + x_1 =& a end{aligned} ight.) (Longrightarrow) (left{egin{aligned} x_1 - x_2 =& a_1 - a \ x_2 - x_3 =& a_2 - a \ ...& \ x_{n-1} - x_n =& a_{n-1} - a \ x_n - x_1 =& a_n - a end{aligned} ight.) $ Longrightarrow$ (left{egin{aligned} x_1 =& x_1 - 0 \ x_2 =& x_1 - (a_1 - a) \ x_3 =& x_1 - (a_1 + a_2 - 2a) \...& \ x_n =& x_1 - (a_1 + a_2 + ... + a_{n - 1} - (n-1)a) end{aligned} ight.)

将(x_1)后面减的常数依次设为(C_1 sim C_n) 。

则(egin{aligned} &|x_1| +|x_2| + ... + |x_n| \ =&|x_1 - C_1| + |x_1 - C_2| + ... + |x_1 - C_n| \ Rightarrow &数轴上选一点，求其到各点C_i的距离和最小 \ Rightarrow &求中位数 end{aligned})

三、对顶堆求动态中位数

题目链接：106. 动态中位数

描述：给一个数组，不断向其中添加数字，如果添加后的总数为奇数，则输出中位数。

满足条件：

1. up堆的所有元素都大于等于down堆的所有元素
2. down元素个数最多比up堆多1个

down堆的堆顶元素即为中位数

四、RMQ

题目链接：1273. 天才的记忆

解决问题：求区间最值问题

思想：倍增、动态规划

状态表示：f[i][j] : 表示从i开始，长度为2^j的区间最值
状态转移：f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1])
以最大值为例：
void init()
{
    for(int j = 0; j < M; j++)
        for(int i = 0; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
            if(!j) f[i][j] = a[i];
            else f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
}

查询操作：设k为满足(2^k leq len)的最大值，则被查询区间可以被划分为f[l][k] 和 f[r - (1 << k) + 1][k]

int query(int l, int r)
{
    int len = r - l + 1;
    int k = log(len) / log(2);
    
    return max(f[i][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}