母函数笔记

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母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

普通母函数

普通母函数就是最常见的母函数。一般来说，序列((a_n)_{nin N})的母函数是：(G(a_n;x)=sum^{infin}_{n=0}a_nx^n)

如果是某个离散随机变量的概率质量函数，那么它的母函数被称为一个概率母函数。

多重下标的序列也可以有母函数，例如序列((a_{m,n})_{min N,nin N})的母函数是(G(a_{m,n};x,y)=sum^infin_{m,n=0}a_{m,n}x^my^n)

指数母函数

序列((a_n)_{nin N})的指数母函数是：(EG(a_n;x)=sum^{infin}_{n=0}a_nfrac{x^n}{n!})

泊松母函数

序列((a_n)_{nin N})的泊松母函数是：(PG(a_n;x)=sum^{infin}_{n=0}a_ne^{-x}frac{x^n}{n!})

L级数

序列((a_n)_{nin N})的L级数是：(LG(a_n;x)=sum^{infin}_{n=1}a_nfrac{x^n}{1-x^n})

注意这里的下标n​从1 而不是0 开始。

贝尔级数

关于算术函数:(f(n))和(p)的贝尔级数是：(f_p(x)=sum^{infin}_{n=0}f(p^n)x^n)

狄利克雷级数母函数

狄利克雷级数经常被用作母函数，尽管实际上狄利克雷级数并不是严格意义上的形式幂级数。序列((a_n)_{nin N})的狄利克雷级数母函数是：(DG(a_n;s)=sum^{infin}_{n=1}frac{a_n}{n^s})

当(a_n)是积性函数时狄利克雷级数比较有用，因为这时的母函数可以写成一系列贝尔级数的欧拉积：(DG(a_n;s)=prod f_p(p^{-s}))

如果(a_n)是狄利克雷特征，那么它对应的狄利克雷级数母函数被称为狄利克雷L函数。

一般母函数的性质

求和：

在原函数f为(1,1,1,1,.....)的情况下

(f=sum^{infin}_{n=0}x^n=frac{1}{1-x})

不定方程的解数

(sum^{infin}_{n=0}C^{k}_{n+k}x^n=f^{k+1}=frac{1}{(1-x)^{k+1}})

关于指数母函数

(e^{x} = sumlimits_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!}=1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + cdots)

(e^{-x} = 1 - x + frac{x^2}{2!} - frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + cdots)

(frac{e^x+e^{-x}}{2}=1+frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}+frac{x^6}{6!}+cdots)

(frac{e^x-e^{-x}}{2}=x+frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}+frac{x^7}{7!}+cdots)

(frac{1}{1 - x} = sumlimits_{i = 0}^{infty} x^i)

(ln(1 + x) = sumlimits_{i = 0}^{infty} (-1)^{i} frac{x^{i + 1}}{i + 1}=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}+cdots)

((1 + x)^{a} = sumlimits_{i = 0}^{infty} a^{underline{i}}frac{x^i}{i!}=1+ax+frac{a(a-1)x^2}{2!}+frac{a(a-1)(a-2)x^3}{3!}+cdots)

(sin(x) = sumlimits_{i = 0}^{infty} (-1)^{i}frac{x^{2i + 1}}{(2i + 1)!}=x-frac{1}{3!}x^3+frac{1}{5!}x^5+cdots)

(cos(x) = sumlimits_{i = 0}^{infty} (-1)^{i}frac{x^{2i}}{(2i)!}=1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}+cdots)

(arcsinx=x+frac{1}{2}frac{x^3}{3}+frac{1*3}{2*4}frac{x^5}{5}+frac{1*3*5}{2*4*6}frac{x^7}{7}+cdots)