数字转换

题目描述

如果一个数 x 的约数和 y （不包括他本身）比他本身小，那么 x 可以变成 y，y 也可以变成 x。例如 4 可以变为 3，111 可以变为 7。限定所有数字变换在不超过 n 的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。

输入格式

输入一个正整数 n。

输出格式

输出不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。

样例

样例输入

7

样例输出

3

样例说明

一种方案为 4→3→1→7。

数据范围与提示

对于 100% 的数据，1≤n≤50000。

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看上去是一个数学相关的题目实际上是一个图论题。

题目要求每个点可以转换成约数和的条件是和的大小小于当前的数。所以每个点要么可以向前变，要么不在向前变。如果以约数为根那么就得到许多的树，也就是说，他们是一些森林，约数和是父亲。然后求最长的变换距离就是求最长连，树上DP就可以了。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=50010;
int sum[maxn],dis1[maxn],dis2[maxn];
int n;
void readint(int &x)
{
    int f=1;
    char c=getchar();
    for(;c<'0' || c>'9';c=getchar())if(c='-')f=-f;
    x=0;
    for(;c<='9' && c>='0';c=getchar())x=x*10+c-'0';
    x*=f;
}
void writeint(int x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9)writeint(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void init()
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=2;i*j<=n;++j)
            sum[i*j]+=i;
}
void dp()
{
    for(int i=n;i>0;--i)
    {
        int j=sum[i];
        if(j<i)
        {
            if(dis1[i]+1>dis1[j])
            {
                dis2[j]=dis1[j];
                dis1[j]=dis1[i]+1;
            }
            else if(dis1[i]+1>dis2[j])
                dis2[j]=dis1[i]+1;
        }
    }
}
int main()
{
    readint(n);
    init();
    for(int i=1;i<n;++i)cerr<<i<<":"<<sum[i]<<endl;
    dp();
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)ans=ans>dis1[i]+dis2[i]?ans:dis1[i]+dis2[i];
    writeint(ans);
    return 0;
}