luoguP5860 「SWTR-03」Counting Trees 生成函数+多项式exp

标签：生成函数，多项式exp

有 $n$ 个点，每个点有一个度数 $v[i]$，代表如果选择这个点就必须满足这个点与 $v[i]$ 条边相连.

求：有多少种选法，使得所选集合中的点能构成一棵树.

如果 $m$ 个点能生成一颗树，那么一定满足 $sum v_{i}=2 imes (m-1)$

这是因为度数之和其实就是边的数量 $ imes 2$.

~~然后感性理解~~：如果 $m$ 个点满足 $sum v_{i}=2 imes(m-1)$，则一定能构成一棵树.

那就将问题转化成：有 $m$ 个物品，每个物品的价值为 $v_{i}-2$，求装满一个体积为 $-2$ 的背包有多少种选法.

对于所有 $v_{i}-2>0$ 的部分，我们直接设生成函数+多项式 exp 来做，然后 $v_{i}=2$ 的部分直接乘上贡献.

最后 $v_{i}=1$ 的部分直接来一个二项式定理展开，然后依次枚举 $v_{i}=1$ 的个数就好了.

因为有 $ori-i=-2$，所以有 $ori=i-2$.

code:

#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <string> 
#define ll long long
#define ull unsigned long long  
using namespace std;
namespace IO
{
    char buf[100000],*p1,*p2;
    #define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
    int rd()
    {
        int x=0; char s=nc();
        while(s<'0') s=nc();
        while(s>='0') x=(((x<<2)+x)<<1)+s-'0',s=nc();
        return x;
    }      
    void print(int x) {if(x>=10) print(x/10);putchar(x%10+'0');}
    void setIO(string s)
    {
        string in=s+".in";
        string out=s+".out"; 
        freopen(in.c_str(),"r",stdin);
        // freopen(out.c_str(),"w",stdout);
    }  
};   
const int G=3;
const int N=4000005;
const int mod=998244353;                
int A[N],B[N],w[2][N],mem[N*100],*ptr=mem,tmpa[N],tmpb[N],aa[N],bb[N];       
inline int qpow(int x,int y)
{
    int tmp=1;  
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)     if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod;
    return tmp; 
}   
inline int INV(int a) { return qpow(a,mod-2); }     
inline void ntt_init(int len)
{
    int i,j,k,mid,x,y;   
    w[1][0]=w[0][0]=1,x=qpow(3,(mod-1)/len),y=qpow(x,mod-2);
    for (i=1;i<len;++i) w[0][i]=(ll)w[0][i-1]*x%mod,w[1][i]=(ll)w[1][i-1]*y%mod;      
}
void NTT(int *a,int len,int flag)
{
    int i,j,k,mid,x,y;            
    for(i=k=0;i<len;++i)
    {
        if(i>k)    swap(a[i],a[k]);
        for(j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
    }
    for(mid=1;mid<len;mid<<=1)         
        for(i=0;i<len;i+=mid<<1)
            for(j=0;j<mid;++j)       
            {
                x=a[i+j], y=(ll)w[flag==-1][len/(mid<<1)*j]*a[i+j+mid]%mod;
                a[i+j]=(x+y)%mod;
                a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
            }
    if(flag==-1)
    {
        int rev=INV(len);
        for(i=0;i<len;++i)    a[i]=(ll)a[i]*rev%mod;
    }
}           
inline void getinv(int *a,int *b,int len,int la)        
{
    if(len==1) { b[0]=INV(a[0]);   return; }
    getinv(a,b,len>>1,la); 
    int l=len<<1,i;
    memset(A,0,l*sizeof(A[0]));           
    memset(B,0,l*sizeof(A[0])); 
    memcpy(A,a,min(la,len)*sizeof(a[0]));                                                   
    memcpy(B,b,len*sizeof(b[0]));          
    ntt_init(l);
    NTT(A,l,1),NTT(B,l,1);   
    for(i=0;i<l;++i)  A[i]=((ll)2-(ll)A[i]*B[i]%mod+mod)*B[i]%mod;
    NTT(A,l,-1);                              
    memcpy(b,A,len<<2);       
}      
void get_dao(int *a,int *b,int len)
{
    for(int i=1;i<len;++i) b[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;  
    b[len-1]=0;
}                  
void get_jifen(int *a,int *b,int len)
{
    for(int i=1;i<len;++i) b[i]=(ll)INV(i)*a[i-1]%mod; 
    b[0]=0;
}
void get_ln(int *a,int *b,int len,int la)
{
    int l=len<<1,i; 
    memset(tmpa,0,l<<2);
    memset(tmpb,0,l<<2); 
    get_dao(a,tmpa,min(len,la));  
    getinv(a,tmpb,len,la);
    ntt_init(l);        
    NTT(tmpa,l,1),NTT(tmpb,l,1);
    for(i=0;i<l;++i) tmpa[i]=(ll)tmpa[i]*tmpb[i]%mod;  
    NTT(tmpa,l,-1); 
    get_jifen(tmpa,b,len);    
}     
void get_exp(int *a,int *b,int len,int la)
{
    if(len==1) { b[0]=1; return; }                         
    int l=len<<1,i;
    get_exp(a,b,len>>1,la);             
    for(i=0;i<l;++i)  aa[i]=bb[i]=0;
    for(i=0;i<(len>>1);++i) aa[i]=b[i];          
    get_ln(b,bb,len,len>>1);                                             
    for(i=0;i<len;++i) bb[i]=(ll)(mod-bb[i]+(i>la?0:a[i]))%mod;                             
    bb[0]=(bb[0]+1)%mod; 
    ntt_init(l); 
    NTT(aa,l,1),NTT(bb,l,1); 
    for(i=0;i<l;++i) aa[i]=(ll)aa[i]*bb[i]%mod;   
    NTT(aa,l,-1);    
    for(i=0;i<len;++i)  b[i]=aa[i];   
}
struct poly
{
    int len,*a; 
    poly(){}    
    poly(int l) {len=l,a=ptr,ptr+=l; }         
    inline void rev() { reverse(a,a+len); }    
    inline void fix(int l) {len=l,a=ptr,ptr+=l;}
    inline void get_mod(int l) { for(int i=l;i<len;++i) a[i]=0;  len=l;  }
    inline poly dao()
    {     
        poly re(len-1);
        for(int i=1;i<len;++i)  re.a[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;      
        return re; 
    } 
    inline poly jifen()
    {
        poly c; 
        c.fix(len+1);     
        c.a[0]=0;
        for(int i=1;i<=len;++i) c.a[i]=(ll)a[i-1]*INV(i)%mod;             
        return c;
    }        
    inline poly Inv(int l)
    {              
        int lim=1;
        while(lim<=l) lim<<=1;       
        poly b(lim);  
        getinv(a,b.a,lim,len);                                  
        return b;                     
    }                
    inline poly ln(int l)
    {
        int lim=1;
        while(lim<=l) lim<<=1;                   
        poly b(lim);  
        get_ln(a,b.a,lim,len);
        return b;  
    }                       
    inline poly exp(int l)
    { 
        int lim=1;
        while(lim<=l) lim<<=1; 
        poly b(lim);
        get_exp(a,b.a,lim,len);      
        b.get_mod(l);   
        return b;
    }                             
    inline poly operator*(const poly &b) const
    {
        poly c(len+b.len-1);
        if(c.len<=500)
        {      
            for(int i=0;i<len;++i)
                if(a[i])   for(int j=0;j<b.len;++j)  c.a[i+j]=(c.a[i+j]+(ll)(a[i])*b.a[j])%mod;   
            return c;
        }
        int n=1; 
        while(n<(len+b.len)) n<<=1;
        memset(A,0,n<<2);
        memset(B,0,n<<2);
        memcpy(A,a,len<<2);                          
        memcpy(B,b.a,b.len<<2);               
        ntt_init(n);     
        NTT(A,n,1), NTT(B,n,1);  
        for(int i=0;i<n;++i) A[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod;
        NTT(A,n,-1);
        memcpy(c.a,A,c.len<<2);
        return c;    
    } 
    poly operator+(const poly &b) const
    {
        poly c(max(len,b.len)); 
        for(int i=0;i<c.len;++i)  c.a[i]=((i<len?a[i]:0)+(i<b.len?b.a[i]:0))%mod;
        return c; 
    }
    poly operator-(const poly &b) const
    { 
        poly c(len);    
        for(int i=0;i<len;++i)
        {
            if(i>=b.len)   c.a[i]=a[i];
            else c.a[i]=(a[i]-b.a[i]+mod)%mod; 
        }
        return c;
    }
    poly operator/(poly u)
    {
        int n=len,m=u.len,l=1;
        while(l<(n-m+1)) l<<=1;                        
        rev(),u.rev();         
        poly v=u.Inv(l); 
        v.get_mod(n-m+1);     
        poly re=(*this)*v;
        rev(),u.rev(); 
        re.get_mod(n-m+1);      
        re.rev();
        return re;
    }   
    poly operator%(poly u)
    {   
        poly re=(*this)-u*(*this/u);     
        re.get_mod(u.len-1);    
        return re; 
    }                  
}po;   
int a[N],v[N],bu[N],fac[N],inv[N],f0,f1,IN[N];                 
int C(int x,int y) 
{ 
    if(x<y) return 0; 
    return (ll)fac[x]*IN[y]%mod*IN[x-y]%mod;    
}
int main() 
{
    // IO::setIO("input");  
    int i,j,n; 
    scanf("%d",&n); 
    for(i=1;i<=n;++i) 
    {
        scanf("%d",&v[i]); 
        if(v[i]>2) bu[v[i]-2]++;    
        else if(v[i]==2) ++f0; 
        else ++f1;  
    }                          
   //  int maxm=n;    
    fac[0]=IN[0]=inv[0]=1;  
    for(i=1;i<=n;++i) 
    {
        fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;   
        inv[i]=INV(i);    
        IN[i]=INV(fac[i]);   
    }
    po.fix(n+1);       
    for(i=1;i<=n;++i) 
    { 
        if(bu[i]) 
        {        
            for(j=i;j<=n;j+=i) 
            {   
                int d=j/i;   
                int de=((d+1)%2==0)?1:mod-1;      
                po.a[j]=(ll)(po.a[j]+(ll)de*bu[i]%mod*inv[d]%mod+mod)%mod;          
            }
        }
    }              
    po=po.exp(n+1);  
    int tmp=qpow(2,f0);  
    for(i=0;i<=n;++i) po.a[i]=(ll)po.a[i]*tmp%mod;            
    // int ans=(ll)C(f1,2)*tmp;      
    int ans=0;   
    for(i=2;i<=f1;++i)             
    {
        ans=(ll)(ans+(ll)C(f1,i)*po.a[i-2]%mod)%mod;    
    }     
    printf("%d
",ans);    
    return 0;
}