HDU 5729 Rigid Frameworks (联通块计数问题)

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通过看题解画图可以发现：

不论怎么转，一列里的横边/一行里的竖边始终平行

当我们加固一个格子时，会让它所在的这一行的竖边和这一列的横边保证垂直

而我们的目标是求所有竖边和横边都保证垂直的方案数

把一行里的所有竖边看成一个点，把一列里的所有横边看成一个点。一共$n+m$个点

把图看成二分图，左侧$n$个点，右侧$m$个点。加固一个格子相当于在左侧的一个点和右侧的一个点之间连边！

我们的问题变成了求解二分图的连通图个数！

接下来就是很套路的$DP$了

定义$f(a,b)$表示左边$a$个点，右边$b$个点的连通二分图个数

对于连通图问题，我们依然采用常规的“固定思想”，我们固定左侧第一个点

直接求联通很困难，考虑用不合法的情况相减，可得$DP$方程：

$f(a,b)=3^{ab}-sum_{i=0}^{a}sum_{j=0}^{b}f(i,j)C_{a-1}^{i-1}C_{b}^{j}3^{(a-i)(b-j)}$

(注意i=a,j=b是不能转移的)

初值怎么赋需要思考

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N1 65
#define M1 3605
#define ll long long
using namespace std;
const ll p=1000000007;

int n,m,T;
int pw3[M1],C[N1][N1],f[N1][N1];

int main()
{
    int i,j,a,b; n=60; m=60;
    for(i=1,pw3[0]=1;i<=n*m;i++) pw3[i]=3ll*pw3[i-1]%p;
    C[0][0]=1;
    for(i=1;i<=max(n,m);i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(j=1;j<i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%p;
    }
    f[1][0]=1; f[1][1]=2; //pw3[0]=0;
    for(a=1,b=2;b<=m;b++)
    {
        f[a][b]=pw3[a*b];
        for(j=0,i=1;j<b;j++)
        {
            f[a][b]=(f[a][b]-1ll*f[i][j]*C[a-1][i-1]%p*C[b][j]%p*pw3[(a-i)*(b-j)]%p+p)%p;
        }
    }
    for(a=2;a<=n;a++)
    {
        for(b=1;b<=m;b++)
        {
            f[a][b]=pw3[a*b];
            for(i=1;i<a;i++)
            for(j=0;j<=b;j++)
                f[a][b]=(f[a][b]-1ll*f[i][j]*C[a-1][i-1]%p*C[b][j]%p*pw3[(a-i)*(b-j)]%p+p)%p;
            for(j=0,i=a;j<b;j++)
                f[a][b]=(f[a][b]-1ll*f[i][j]*C[a-1][i-1]%p*C[b][j]%p*pw3[(a-i)*(b-j)]%p+p)%p;
        }
    }
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {    
        printf("%d
",f[n][m]);
    }
    return 0;
}