泰勒展开可以把一个函数f(x)展开成关于某一点的导数(0次到N次)的函数,这样就可以近似计算一个函数,
泰勒级数、欧拉公式、三角函数
泰勒级数的定义：
若函数f（x）在点
的某一临域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：
其中：
，称为拉格朗日余项。
以上函数展开式称为泰勒级数。
泰勒级数在幂级数展开中的作用：
在泰勒公式中，取
，得：
这个级数称为麦克劳林级数。函数f（x）的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f（x）的麦克劳林级数一致。
注意：如果f（x）的麦克劳林级数在点的某一临域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）都需要进一步验证。
几个重要的泰勒级数。参数x 为复数时它们依然成立。
- 几何级数:
- 三角函数:
- 双曲函数:
二项式展开中的C(α,n)是二项式系数。
tan(x)和tanh(x)展开式中的Bk是伯努利数。
sec(x)展开式中的Ek是欧拉数。