KMP模式匹配

Knuth-Morris-Pratt三位学者发现的.

2. 模式值数组与最长首尾匹配

可能有读者因上一节的匹配太缭乱而直接跳到这里，那笔者再重复一遍已经得到的结论：我们需要对字符串N进行预处理，得到一个叫做模式值数组的东西。那么我们怎样处理字符串N呢？

这个东西如果我们能思考出来，那我们就可以在KMP算法后面多写一个字母了（KMP算法是以其发现者Knuth, Morris, Pratt三人的名字首字母命名的）。我们首先感谢这三位大拿不辞辛劳的研究，然后直接给出这个处理的方法：寻找最长首尾匹配位置。

这是什么意思呢？首尾匹配位置就是说，给定一个字符串N（长度为n，即N由N[0]...N[n]组成），找出是否存在这样的i，使得N[0]=N[n-i]，N1=N[n-i-1]，……，N[i]=N[n]，不存在返回-1。如下图所示：

图中绿色的部分完全相等，满足首尾匹配。且不会找出一点k，k>i且满足N[0]=N[n-k]，N1=N[n-k-1]，……，N[k]=N[n]。我们假设确定最长首尾匹配的位置的函数为next，即 next(N[n])=i 当在匹配的过程中，发现N的j+1位不匹配时，回溯到第 next(N[j])+1 位来进行查找是最优的，换言之，next(N[j])+1 位是最早可能产生匹配的位置，之前的位都不可能产生匹配。证明如下：

• 证明匹配：我们设 next(N[j]) = e，则满足N[0...e] = N[j-e...j]。当N[j+1] != M[y+1]时，可知已经完成匹配：M[y-j...y] = N[0...j]，则M[y-e...y] = N[j-e...j]。由此可以推知N[0...e] = M[y-e...y]，即将N后移至首尾相等位置，仍然可以满足匹配，接下来只需要查看N[e+1]与M[y+1]是否相等即可。

• 证明最优：依然用反证法，假设存在f，f>e，满足N[0...f] = M[y-f...y]，即其匹配位置出现在更早的位置，则由于M[y-j...y] = N[0...j]，则M[y-f...y] = N[j-f...j]，则满足N[j-f...j] = N[0...f]，则e就不是最长的首尾匹配点，与原假设不符。因此e点时最早可能产生匹配的位置。如图所示：

经过以上重重繁琐证明，我们终于得出了这样的结论——当部分匹配成功N[0...j]，发现不匹配N[j+1]要进行回溯时，回溯到next(N[j])是最优的。而next()就是求取字符串N[0...j]中最长首尾匹配位置的函数。如果你把这一系列的值求取出来，保存到一个数组里，如next[j] = next(N[j])，那么这个数组就是所谓的模式值数组。

3. 模式值数组的求取

我知道又有读者会直接跳到这一段——没关系，我们复述一下我们前两节得到的结论：一切的问题都归结于如何进行最长首尾匹配。我们把问题简化如下：对于给定的字符串N，如何返回其最长首尾匹配位置？如abca，返回0，表示第0位与最后一位匹配；abcab，返回1，表示N[0,1]=N[n-1,n]；abc，返回-1，表示没有首尾匹配，等等。

简单的想一下这个问题，发现用递归求取是一个不错的办法。首先我们假设N[j]已经求出了next（next(N[0...j]) = i），那么对于N[j+1]的next应该怎么求呢？

三种情况：

• N[j+1] == N[i+1]：这个情况十分的乐观，我们可以直接说next(N[0...j+1]) = i+1。至于证明则依然用反证法，可以很容易的得出这个结论。

• N[j+1] != N[i+1]：这个情况就比较复杂，我们就需要循环查找i的next，即i = next(N[0...i])，之后再用N[j+1]与N[i+1]比较，知道其相等为止。我们依然用一张图来说明这个问题：

假设上图中k = next(i)，那么我们说如果N[k+1] == N[j+1]，那么k+1就是最长的首尾匹配位置，即next(N[j+1]) = k+1。你很快会发现这个证明模式与刚才的证明模式非常相同：首先我们证明其匹配，对于N[0...k]来说，其与N[i-k...i]匹配，同时由于N[0...i]与N[j-i...j]匹配，则N[i-k...i]与N[j-k...j]匹配，则N[0...k]与N[j-k...j]匹配。则如果N[k+1] == N[j+1]，我们就可以说k+1是一个首尾匹配位置。如果要证明其实最长，那么可以依然用反证法，得出这个结论。

• 最后，如果未能发现相等，返回-1。证明新的字符串N[0...j+1]无法产生首尾匹配。

我们用js代码实现以下这个算法，这里我们规定如果字符串只有一位，如a，其返回值也是-1，作为递归的终止条件。代码如下所示：

function next(N, j) {
    if (j == 0) return -1               // 递归终止条件
    var i = next(N, j-1)                // 获取上一位next
    if (N[i+1] == N[j]) return i+1      // 情况1
    else {
        while (N[i+1] != N[j] && i >= 0) i = next(N, i)
        if (N[i+1] == N[j]) return i+1  // 情况2
        else return -1                    // 情况3
    }
}

我们来看一下这段代码有没有可以精简之处，情况1实际上与情况2是重复的，我们在while循环里已经做了这样的判断，所以我们可以将这个if-else分支剪掉合并成一个，如下所示：

function next(N, j) {
    if (j == 0) return -1           // 递归终止条件
    var i = next(N, j-1)            // 获取上一位next
    while (N[i+1] != N[j] && i >= 0) i = next(N, i)
    if (N[i+1] == N[j]) return i+1  // 情况1、2
    else return -1                    // 情况3
}

好的，我们已经有了求取next数组的函数，接下来我们就可以进行next[i] = next(i)的赋值操啦~等一下，既然我们本来的目的就是要保存一个next数组，而在递归期间也会重复用到前面保存的内容（next(N, i)）那我们为什么还要用递归啊，直接从头保存不就好了么！

于是我们直接修改递归函数如下，开辟一个数组保存递归的结果：

function getnext(N) {
    var next = [-1]
    ,   n = N.length
    ,   j = 1         // 从第二位开始保存
    ,   i

    for (; j < n; j++) {
        i = next[j-1]
        while (N[i+1] != N[j] && i >= 0) i = next[i]
        if (N[i+1] == N[j]) next[j] = i+1     // 情况1、2
        else next[j] = -1                     // 情况3
    }
    return next
}

我们再来看一下这个程序的 i = next[j-1] 的这个赋值。其实在每次循环结束后，i的值都有两种可能：

• 情况1、2：则i = next[j]-1，当j++时，i == next[j-1]-1
• 情况3：情况3是因为i < 0而跳出while循环，所以i的值为-1，而next[j]=-1，也就是说j++时，i ==next[j-1]

所以我们可以把循环改成这样：

    var i = -1    
    for (; j < n; j++) {
        while (N[i+1] != N[j] && i >= 0) i = next[i]
        if (N[i+1] == N[j]) i++     // 情况1、2
        next[j] = i                 // 情况3
    } 

大功告成！这样我们就得出了可以求取模式值数组next的函数，那么在具体的匹配过程中怎样进行呢？

4. KMP匹配

经过上面的努力我们求取了next数组——next[i]保存的是N[0...i]的最长首尾匹配位置。在进行字符串匹配的时候，我们在N[j+1]位不匹配时，只需要回溯到N[next[j]+1]位进行匹配即可。这里的证明我们已经在第二节中给出，所以这里直接按照证明写出程序：

function kmp(M, N) {
    var next = getnext(N)
    ,    match = []
    ,    m = M.length
    ,    n = N.length
    ,    j = 0
    ,    i = -1

    for (; j < m; j++) {
        while (N[i+1] != M[j] && i >= 0) i = next[i] // 2. 否则回溯到next点继续匹配
        if (N[i+1] == M[j]) i++                      // 1. 如果相等继续匹配
        if (i == n-1) {match.push(j-i); i = next[i]} // 如果发现匹配完成输出成功匹配位置
        // 否则返回i=-1，继续从头匹配
    }
    return match
}

这里的kmp程序是缩减过的，其逻辑与 getnext() 函数相同，因为都是在进行字符串匹配，只不过一个是匹配自身，一个是两个对比而已。我们来分析一下这段代码的时间复杂度，其中有一个for循环和一个while循环，对于整个循环中的while来说，其每次回溯最多回溯i步（因为当i < 0时停止回溯），而i在整个循环中的递增量最多为m（当匹配相等时递增）故while循环最多执行m次；按照平摊分析的说法，摊还到每一个for循环中时间复杂度为O(1)，总共的时间复杂度即为O(m)。同理可知，getnext() 函数的时间复杂度为O(n)，所以整个KMP算法的时间复杂度即为O(m+n)。

笔者认为写完这篇文章以后，笔者再也不会忘记KMP算法究竟是个什么东西了。

参考资料：

• KMP算法详解：据称是最容易理解的一篇文章；
• Matrix67: KMP算法详解：笔者认为是代码最简洁的一片文章；
• 从头到尾理解KMP算法：认为是图表最多比较清晰的一篇文章；
• Knuth–Morris–Pratt algorithm：KMP英文wiki。

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文章作者：姜南(Slyar) 文章来源：Slyar Home (www.slyar.com) 转载请注明，谢谢合作。

KMP 算法我们有写好的函数帮我们计算 Next 数组的值和 Nextval 数组的值，但是如果是考试，那就只能自己来手算这两个数组了，这里分享一下我的计算方法吧。

计算前缀 Next[i] 的值:

我们令 next[0] = -1 。从 next[1] 开始，每求一个字符的 next 值，就看它前面是否有一个最长的"字符串"和从第一个字符开始的"字符串"相等(需要注意的是，这2个"字符串"不能是同一个"字符串")。如果一个都没有，这个字符的 next 值就是0；如果有，就看它有多长，这个字符的 next 值就是它的长度。

计算修正后的 Nextval[i] 值:

我们令 nextval[0] = -1。从 nextval[1] 开始，如果某位(字符)与它 next 值指向的位(字符)相同，则该位的 nextval 值就是指向位的 nextval 值(nextval[i] = nextval[ next[i] ])；如果不同，则该位的 nextval 值就是它自己的 next 值(nextvalue[i] = next[i])。

举个例子:

计算前缀 Next[i] 的值:

next[0] = -1;定值。
next[1] = 0;s[1]前面没有重复子串。
next[2] = 0;s[2]前面没有重复子串。
next[3] = 0;s[3]前面没有重复子串。
next[4] = 1;s[4]前面有重复子串s[0] = 'a'和s[3] = 'a'。
next[5] = 2;s[5]前面有重复子串s[01] = 'ab'和s[34] = 'ab'。
next[6] = 3;s[6]前面有重复子串s[012] = 'abc'和s[345] = 'abc'。
next[7] = 4;s[7]前面有重复子串s[0123] = 'abca'和s[3456] = 'abca'。

计算修正后的 Nextval[i] 值:

nextval[0] = -1;定值。
nextval[1] = 0;s[1] != s[0]，nextval[1] = next[1] = 0。
nextval[2] = 0;s[2] != s[0]，nextval[2] = next[2] = 0。
nextval[3] = -1;s[3] == s[0]，nextval[3] = nextval[0] = -1。
nextval[4] = 0;s[4] == s[1]，nextval[4] = nextval[1] = 0。
nextval[5] = 0;s[5] == s[2]，nextval[5] = nextval[2] = 0。
nextval[6] = -1;s[6] == s[3]，nextval[6] = nextval[3] = -1。
nextval[7] = 4;s[7] != s[4]，nextval[7] = next[7] = 4。