算数表达式--二叉树
最早提出遍历问题的是对存储在计算机中的表达式求值。例如：(a+b×(c-d))-e/f。表达式用树形来表示，如图8-11-1所示。运算符在树中放在非终端结点的位置上，操作数放在叶子结点处。
当我们对此二叉树进行先序、中序和后序遍历后，便可得到表达式的前缀、中缀和后缀书写形式：
前缀：-+a*b-cd/ef
中缀：a+b*c-d-e/f
后缀：abcd-*+ef/-
其中，中缀形式是算术表达式的通常形式，只是没有括号。在计算机内，使用后缀表达式易于求值。
例1 输入一个算术表达式，判断该表达式是否合法，若不合法，给出错误信息；若合法，则输出合法表达式的表达式树。
【算法分析】表达式不合法有三种情况：①左右括号不匹配；②变量名不合法；③运算符两旁无参与运算的变量或数。
分析表达式树可以看到：表达式的根结点及其子树的根结点为运算符，其在树中的顺序是按运算的先后顺序从后到前，表达树的叶子为参与运算的变量或数。
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例如，表达式：a+(b-c)/d 运算顺序： ③ ① ② |
表达式树如图8-11-2
处理时，首先找到运算级别最低的运算符“+”作为根结点，继而确定该根结点的左、右子树结点在表达式串中的范围为a和(b-c)/d，再在对应的范围内寻找运算级别最低的运算符作为子树的根结点，直到范围内无运算符，则剩余的变量或数为表达式树的叶子。
【算法步骤】
① 设数组ex存放表达式串的各字符，lt、rt作为结点的左右指针，变量left、right用于存放每次取字符范围的左、右界。
② 设置左界初值为1；右界初值为串长度。
③ 判断左右括号是否匹配，不匹配则认为输入有错误。
④ 在表达式的左右界范围内寻找运算级别最低的运算符，同时判断运算符两旁有否参与运算的变量或数。若无，则输入表达式不合法；若有，作为当前子树的根结点，设置左子树指针及其左右界值，设置右子树指针及其左右界值。
⑤ 若表达式在左右界范围内无运算符，则为叶子结点，判断变量名或数是否合法。
⑥ 转④，直到表达式字符取完为止。
源程序中的h、d、w用于存放文本画图时结点的坐标位置。
program exptree;
uses crt;
type
point=^tree;
tree=record
data:string;
lt:point;
rt:point;
end;
var
n,len,k:integer;
ex:string;
letters:set of char;
root:point;
procedure error(er:byte); {出错信息提示}
begin
write('Enter error:');
case er of
1:writeln('No letter');
2,3:writeln('No expressint');
4:writeln('No+,*,-or/');
5:writeln('No(or)');
end;
write('Press<enter>...');readln;halt(1);
end;
procedure create(left,right:integer;var p:point);
var q:point;
k,n:integer;
begin {找运算级别最低的运算符}
if ex[left]='(' then
begin
n:=left+1;k:=0;
while (n<right) and (k>=0) do
begin
if ex[n]='(' then inc(k);
if ex[n]=')' then dec(k);
inc(n);
end;
if n=right then
begin
dec(right);inc(left);
end;
end;
if right<left then error(1);
n:=right;k:=0;
repeat
if ex[n]=')' then inc(k);
if ex[n]='(' then dec(k);
dec(n);
until (((ex[n]='+') or (ex[n]='-')) and (k=0)) or (n<left);
if n=left then error(3);
if n>left then
begin
with p^ do
begin
data:=ex[n];
new(q);lt:=q;
new(q);rt:=q;
end;
create(left,n-1,p^.lt);
create(n+1,right,p^.rt);
end
else {not found '+''-'}
begin
n:=right;
repeat
if ex[n]=')' then inc(k);
if ex[n]='(' then dec(k);
dec(n);
until (((ex[n]='*') or (ex[n]='/')) and (k=0)) or (n<left);
if n=left then error(3);
if n>left then
begin
with p^ do
begin
data:=ex[n];
new(q);rt:=q;
new(q);lt:=q;
end;
create(left,n-1,p^.lt);
create(n+1,right,p^.rt);
end
else {only string}
begin {求叶子结点的字串}
for k:=left to right do
if not(ex[k] in letters) then error(1);
p^.data:='';
for k:=left to right do
p^.data:=p^.data+ex[k];
p^.lt:=nil;
p^.rt:=nil;
end;
end;
end;
procedure pr_tree(w,dep:integer;p:point); {画出生成的表达式树}
var h,i,lt,rt:integer;
begin
h:=40;for i:=1 to dep do h:=h div 2;
gotoxy(w-1,dep*3);write('(',p^.data,')');
if p^.lt=nil then lt:=w
else begin
lt:=w-h;pr_tree(lt,dep+1,p^.lt)
end;
if p^.rt=nil then rt:=w
else begin
rt:=w+h;pr_tree(rt,dep+1,p^.rt);
end;
if lt<>rt then
begin
gotoxy(w,dep*3+1);write('|');
gotoxy(lt,3*dep+2);write('|');
for i:=lt to rt-2 do write('-');write('|');
end;
end;
begin
clrscr;
letters:=['A'..'Z','a'..'z','0'..'9'];
repeat
write('Enter expression:');readln(ex);
len:=length(ex)
until len>0;
n:=1;
k:=0;
while (n<=len) and (k>=0) do {判断左括号是否匹配}
begin
if ex[n]='(' then inc(k);
if ex[n]=')' then dec(k);
inc(n);
end;
if k<>0 then error(5);
new(root);create(1,len,root);
pr_tree(40,1,root);readln
end.
注：Pascal语言的程序中，通过在程序的开头使用uses命令，说明所需要使用的单元，其语法为：
uses <单元名表>； {单元名表是指用逗号隔开的1个或多个单元名称}
crt {具有屏幕模式控制、扩展键盘码、颜色、窗口、声音等功能}
clrscr {清楚当前窗口或屏幕，光标返回到左上角}
什么是Bit-map
所谓的Bit-map就是用一个bit位来标记某个元素对应的Value， 而Key即是该元素。由于采用了Bit为单位来存储数据，因此在存储空间方面，可以大大节省。