位运算

0x3F 3F 3F 3F 有两个特性

1、整数的两倍不超过 0x7F FF FF FF，即 int 能表示的最大正整数.

2、整数的每 8 位（每个字节）都是相同的。

需要考虑溢出的问题，以防止超过整数所能表示的最大范围，在表达式中，是按照最高的数据类型来保持中间变量的，与最后保存的变量数据类型无关。

一、 计算  (a ^ b) mod p (快速幂)

int power (int a, int b, int p) {
  int ans = 1 % p;
  while (b) {
    if (b & 1) ans = (ans * a) % p;
    a = (a * a) % p;
    b >>= 1;
  }
  return ans;
}

二、计算 (a * b) mod p

方法一：b 用二进制表示.和快速幂的类似。

int mul_1 (int a, int b, int p) {
  int ans =  0;
  while (b) {
    if (b & 1) ans = (ans + a) % p;
    a = (a * 2) % p;
    b >>= 1; 
  }
  return ans;
}

方法二： (a * b) mod p = (a * b) - (a * b / p) * p

int mul_2 (int a, int b, int p) {
  a = a % p; 
  b = b % p;
  int c = a * b / p;
  int ans = a * b - c * p;
  if (ans < 0) ans += p;
  else if (ans >= p) ans -= p;
  return ans;
}

二进制状态压缩

是将一个长度为 m 的 bool 数组用一个 m 位的二进制整数表示并存储。例如 STL 中的 bitset.

1、取出整数 n 在二进制表示下的第 k 位         　　　　（n >> k） & 1

2、取出整数 n 在二进制表示下的第 0 ~ k-1 位   　　　（n） & ((1 << k ) - 1)

3、把整数 n 在二进制的表示下的第 k  位取反                  n  xor (1 << k)

4、把整数 n 在二进制表示下的第 k 位赋值 1                   n | (1 << k)

5、把整数 n  在二进制表示下的第 k 位赋值 0                  n & (~(1 << k))

if (n % 2 == 0) n xor 1  = n + 1

else n xor 1 = n - 1

lowbit（）运算

lowbit（n） 取出非负整数 n 在二进制表示下最低位的 1 以及它后边的 0 构成的数值

lowbit（n） = n & (~n + 1) = n & (-n)