Best Time to Buy and Sell Stock with Transaction Fee
题目等级：Medium
题目描述：
Your are given an array of integers prices, for which the i-th element is the price of a given stock on day i; and a non-negative integer fee representing a transaction fee.
You may complete as many transactions as you like, but you need to pay the transaction fee for each transaction. You may not buy more than 1 share of a stock at a time (ie. you must sell the stock share before you buy again.)
Return the maximum profit you can make.
Example 1:
Input: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
Output: 8
Explanation: The maximum profit can be achieved by:
Buying at prices[0] = 1
Selling at prices[3] = 8
Buying at prices[4] = 4
Selling at prices[5] = 9
The total profit is ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.
题意：给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。可以无限次地完成交易，但是每次交易都需要付手续费。返回获得利润的最大值。
解题思路（动态规划）：
终于到了买卖股票的最后一道题。。。
有了上一题（冷冻期）的经验，这道题实际不难了，同样是无数次情况的一个变形，只不过每次需要交一定的费用。实际很类似，有了上一题状态的定义，稍加修改就是这个题了。
同样的，每一天是一个阶段，每一阶段的决策就是：每天决定买还是卖，而每一天有两个状态：手里持有股票、手里没有股票。
和上题一样，仍然定义两个状态变量：
sell[i]：表示在第i天结束后手里没有股票的情况下，获得的最大收益。
hold[i]：表示在第i天结束后手里仍然持有股票的情况下获得的最大收益。
其状态转移也不难分析：
如果当天结束时仍然持有股票，那么有两种可能：（1）今天刚买的，那么说明前一天结束的时候手里没有股票了，即hold[i]=sell[i-1]-prices[i]. （2）以前就买了，今天啥也没干，也没买也没卖，换句话说就是前一天结束的时候手里已经有了，即：hold[i]=hold[i-1]。
如果当天结束的时候手里没有股票，那么说明也有两种可能：（1）今天刚卖了， 也就是说前一天结束的时候手里还是持有股票的，而今天卖的时候还有交纳费用，所以：sell[i]=hold[i-1]+prices[i]-fee.（2）以前就卖了，今天啥也没干，那说明前一天结束的时候手里已经没有股票了，所以：sell[i]=sell[i-1].
综合起来，就可以得到状态转移方程：
hold[i]=max(sell[i-1]-prices[i],hold[i-1])
sell[i]=max(hold[i-1]+prices[i]-fee,sell[i-1])
初始条件还是一样的，第一天的时候不可能卖出，一定会买入，这实际上还是贪心思想的一种体现，第一天可以买一定是会买的，在处理不限次数的交易时，已经证明了这种贪心思想的正确性，所以sell[0]=0，而hold[0]=-prices[0].
最后，根据以上分析给出以下代码：
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
if(prices==null || prices.length==0)
return 0;
int len=prices.length;
int[] sell=new int[len];
int[] hold=new int[len];
sell[0]=0;
hold[0]=-prices[0];
for(int i=1;i<len;i++){
sell[i]=Math.max(sell[i-1],hold[i-1]+prices[i]-fee);
hold[i]=Math.max(sell[i-1]-prices[i],hold[i-1]);
}
return sell[len-1];
}
}
时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(2n)
总结
本题是买卖股票6道题的最后一题了，做一个简单的总结，这一系列题目是动态规划和贪心思想的运用。我们可以看到：实际上在冷冻期和需要费用的这两道题目中定义的两个状态sell和hold是可以解决所有的不限制交易次数的题目的，包括我们的无数次交易也可以通过这两个状态来写出转移方程，因为不管条件如何变，只要没有限制交易次数，每天的状态都还是这两个。而限制了交易次数的，状态就会复杂一些，就需要一个二维状态，这也就是在允许交易K次的题目中我们给出的方法。
因此，到此为止，不管股票买卖这道题再给出什么条件，我们都可以做了，因为限制次数的和不限制次数的两种情况下的状态我们都清楚了，只需要根据不同的条件写出转移方程就可以了。
两次交易：【LeetCode】123、买卖股票的最佳时机 III
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