【算法】查找算法

一、查找算法介绍　　

• 顺序(线性)查找

• 二分查找/折半查找

• 插值查找

• 斐波那契查找

二、线性查找

• 编写线性查找算法代码

public class SeqSearch {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5 };// 没有顺序的数组
        int index = seqSearch(arr, -11);
        if (index == -1) {
            System.out.println("没有找到到");
        } else {
            System.out.println("找到，下标为=" + index);
        }
    }

    /**
     * 这里我们实现的线性查找是找到一个满足条件的值，就返回
     * 
     * @param arr
     * @param value
     * @return
     */
    public static int seqSearch(int[] arr, int value) {
        // 线性查找是逐一比对，发现有相同值，就返回下标
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            if (arr[i] == value) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

}

三、二分查找

3.1、二分查找思路

　　二分查找算法的前提：数组必须是有序数组
　　二分查找算法思路分析（递归版）：
　　定义两个辅助指针：left、right ，待查找的元素在 arr[left]~arr[right] 之间
　　left 初始值为 0 ，right 初始值为 arr.length - 1
　　将数组分成两半：int mid = (left + right) / 2; ，取数组中间值与目标值 findVal 比较
　　如果 mid > findVal ，说明待查找的值在数组左半部分
　　如果 mid < findVal ，说明待查找的值在数组右半部分
　　如果 mid == findVal ，查找到目标值，返回即可
　　何时终止递归？分为两种情况：
　　找到目标值，直接返回目标值 findVal ，结束递归即可
　　未找到目标值：left > right，这样想：如果递归至数组中只有一个数时（left == right），还没有找到目标值，继续执行下一次递归时， left 指针和 right 指针总有一个会再走一步，这时 left 和 right 便会错开，此时 left > right ，返回 -1 并结束递归表示没有找到目标值

3.2、代码实现

//注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的.
public class BinarySearch {

    public static void main(String[] args) {
        
        int arr[] = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234 };
        int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
        System.out.println("resIndex=" + resIndex);

    }

    // 二分查找算法
    /**
     * 
     * @param arr     数组
     * @param left    左边的索引
     * @param right   右边的索引
     * @param findVal 要查找的值
     * @return 如果找到就返回下标，如果没有找到，就返回 -1
     */
    public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {

        // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
        if (left > right) {
            return -1;
        }
        int mid = (left + right) / 2;
        int midVal = arr[mid];

        if (findVal > midVal) { // 向 右递归
            return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
        } else if (findVal < midVal) { // 向左递归
            return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
        } else {

            return mid;
        }

    }
    
}

四、插值查找

4.1、插值查找基本介绍

　　插值查找算法类似于二分查找， 不同的是插值查找每次从自适应 mid 处开始查找。

4.2、插值查找图解

　　将折半查找中的求 mid 索引的公式 , low 表示左边索引 left ，high 表示右边索引 right ，key 就是前面我们讲的 findVal

　　图中公式：int mid = low + (high - low) * (key - arr[low]) / (arr[high] - arr[low]) ;

　　对应前面的代码公式：

　　int mid = left + (right – left) * (findVal – arr[left]) / (arr[right] – arr[left])

　　

4.3、代码实现

public class InsertValueSearch {

    public static void main(String[] args) {
        
        int [] arr = new int[100];
        for(int i = 0; i < 100; i++) {
            arr[i] = i + 1;
        }        
        int index = insertValueSearch(arr, 0, arr.length - 1, 1);
        System.out.println("index = " + index);

    }

    //编写插值查找算法
    //说明：插值查找算法，也要求数组是有序的
    /**
     * 
     * @param arr 数组
     * @param left 左边索引
     * @param right 右边索引
     * @param findVal 查找值
     * @return 如果找到，就返回对应的下标，如果没有找到，返回-1
     */
    public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) { 

        System.out.println("插值查找次数~~");
        
        //注意：findVal < arr[left]  和  findVal > arr[right] 必须需要，否则我们得到的 mid 可能越界
        // findVal < arr[left] ：说明待查找的值比数组中最小的元素都小
         // findVal > arr[right] ：说明待查找的值比数组中最大的元素都大
         if (left > right || findVal < arr[left] || findVal > arr[right]) {
            return -1;
        }

        // 求出mid, 自适应，额，这不就是一次函数吗
         // findVal = arr[left] 时，mid = left
         // findVal = arr[right] 时，mid = right
        int mid = left + (right - left) * (findVal - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);
        int midVal = arr[mid];
        if (findVal > midVal) { // 说明应该向右边递归
            return insertValueSearch(arr, mid + 1, right, findVal);
        } else if (findVal < midVal) { // 说明向左递归查找
            return insertValueSearch(arr, left, mid - 1, findVal);
        } else {
            return mid;
        }

    }
}

4.4、总结

• 对于数据量较大，关键字分布比较均匀（最好是线性分布）的查找表来说，采用插值查找，速度较快
• 关键字分布不均匀的情况下， 该方法不一定比折半查找要好

五、斐波那契查找

5.1、斐波那契数列

• 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分， 使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。 取其前三位数字的近似值是 0.618。 由于按此比例设计的造型十分美丽， 因此称为黄金分割， 也称为中外比。 这是一个神奇的数字， 会带来意想不到的效果。

• 斐波那契数列 { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数的比例， 无限接近 黄金分割值 0.618

5.2、斐波那契查找介绍

　　那为什么一定要等分呐？能不能进行“黄金分割”？也就是 mid = left+0.618(right-left) ，当然mid 要取整数。如果这样查找，时间复杂性是多少？也许你还可以编程做个试验，比较一下二分法和“黄金分割”法的执行效率。

　　斐波那契查找算法又称为黄金分割法查找算法，斐波那契查找原理与前两种相似， 仅仅改变了中间结点（mid） 的位置，mid 不再是中间或由插值计算得到，而是位于黄金分割点附近， 即 mid = low + F(k-1) - 1

　　对 F(k)-1 的理解　　

• 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质， 可以得到F[k]-1） =（F[k-1]-1） +（F[k-2]-1） + 1

• 该式说明：只要顺序表的长度为 F[k]-1， 则可以将该表分成长度为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的两段 ，即如图所示。 从而中间位置为 mid=low+F(k-1)-1 ，类似的， 每一子段也可以用相同的方式分割

• 但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k]-1， 所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]-1。 这里的 k 值只要能使得 F[k]-1 恰好大于或等于 n 即可

• 为什么数组总长度是 F(k) - 1 ，而不是 F(k) ？因为凑成 F(k-1) 才能找出中间值，如果数组长度为 F(k) ，而 F(k) = F(k-1) + F(k-2) ，咋个找中间值嘞？

• 为什么数组左边的长度是 F(k-1) - 1 ，数组右边的长度是 F(k-2) - 1 ？就拿个斐波那契数列来说：{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } ，54 = 33 + 20 + 1 ，左边是不是 F(k-1) - 1 ，右边是不是 F(k-2) - 1 ，也恰好空出了一个中间值~~~

　　

5.3、斐波那契查找思路

• 先根据原数组大小，计算斐波那契数列的得 k 值

• 数组扩容条件是：增大 k 值（索引从 0 开始），使得数组长度刚好大于或者等于斐波那契数列中的 F[k]-1 ，我们定义临时数组 temp ，temp 后面为 0 的元素都按照数组最大元素值填充

• 何时终止斐波那契查找？

  • 找到目标值：直接返回目标值索引

  • 没有找到目标值：low 指针和 high 指针相等或者擦肩而过，即 low >= high

• 为什么 low == high 时需要单独拎出来？

  • low == high 时说明此时数组中只剩下一个元素（a[low] 或者 a[high]）没有与目标值比较，并且此时 k 有可能等于 0 ，无法执行 mid = low + f[k - 1] - 1; 操作（k - 1 将导致数组越界）

  • 解决办法：我们在程序的最后，将 a[low] 或者 a[high] 单独与目标值 value 进行比较即可，我是通过 Debug 解决数组越界异常的，我并没有想明白，但是不把 low == high 单独拎出来，就会抛异常，哎，烧脑壳~~~改天再想

• mid 值怎么定？mid = low + f[k - 1] - 1 ：用黄金分割点确定 mid 的值

• 左右两条路，你怎么选？

  • key < temp[mid] ：目标值在黄金分割点的左边，看上面的图，应该是 k -= 1;

  • key > temp[mid] ：目标值在黄金分割点的右边，看上面的图，应该是 k -= 2;

  • key = temp[mid] ：找到目标值，因为数组经历过扩容，后面的值其实有些是多余的，mid 可能会越界（相对于原数组来说）

    • mid <= high ：证明 mid 索引在原数组中，返回 mid

    • mid > high 时，证明 mid 索引已经越界（相对于原数组来说），返回 high

5.4、代码实现

public class FibonacciSearch {

    public static int maxSize = 20;

    public static void main(String[] args) {

        int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5 };
        System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 5));

    }

    // 因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
    // 非递归方法得到一个斐波那契数列
    public static int[] fib() {
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }
        return f;
    }

    // 编写斐波那契查找算法
    // 使用非递归的方式编写算法
    /**
     * 
     * @param a   数组
     * @param key 我们需要查找的关键码(值)
     * @return 返回对应的下标，如果没有-1
     */
    public static int fibSearch(int[] a, int key) {
        int low = 0;
        int high = a.length - 1;
        int k = 0; // 表示斐波那契分割数值的下标
        int mid = 0; // 存放mid值
        int f[] = fib(); // 获取到斐波那契数列
        // 获取到斐波那契分割数值的下标
        while (high > f[k] - 1) {
            k++;
        }
        // 因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
        // 不足的部分会使用0填充
        int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
        // 实际上需求使用a数组最后的数填充 temp
        // 举例:
        // temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0} => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234,
        // 1234,}
        for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
            temp[i] = a[high];
        }

        // 使用while来循环处理，找到我们的数 key
        while (low < high) { // 只要这个条件满足，就可以找
            mid = low + f[k - 1] - 1;
            if (key < temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的前面查找(左边)
                high = mid - 1;
                // 为甚是 k--
                // 说明
                // 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                // 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                // 因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
                // 即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
                // 即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
                k--;
            } else if (key > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
                low = mid + 1;
                // 为什么是k -=2
                // 说明
                // 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                // 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                // 3. 因为后面我们有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
                // 4. 即在f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
                // 5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
                k -= 2;
            } else { // 找到
                // 需要确定，返回的是哪个下标
                if (mid <= high) {
                    return mid;
                } else {
                    return high;
                }
            }
        }
        if(a[low]==key) {
            return low;
        }
        else {
            return -1;
        }
    }
}