32. Longest Valid Parentheses

问题：

给定由 "(" 和 ")" 构成的字符串，

求其中完全匹配的子串，最长长度为多少。

Example 1:
Input: s = "(()"
Output: 2
Explanation: The longest valid parentheses substring is "()".

Example 2:
Input: s = ")()())"
Output: 4
Explanation: The longest valid parentheses substring is "()()".

Example 3:
Input: s = ""
Output: 0

Constraints:
0 <= s.length <= 3 * 104
s[i] is '(', or ')'.

解法：DP(动态规划)

1.确定【状态】：字符串s的

• 第i个字符：s[i]

2.确定【选择】：分两种情况

• s[i] == '('：
  • 任何以'('为结尾的字符串，都不可能是匹配字符串，因此：dp[i]=0
• s[i] == ')'：
  • 若前面串中存在多余出来的 '(' （open>0）那么这里匹配到一对括号：dp[i]=dp[i-1]+2
  • 同时，若此时dp[i]得到的匹配子串长度<子串总长度 i，需要追加前面的匹配结果：dp[i]+=dp[i-dp[i]]
    • 解释：到当前为止的字符串：s[ 0 ～ i-dp[i] ～ i ]
    • 在当前直前的子串 i-dp[i] ～ i 中，我们已得到结果：dp[i]=dp[i-1]+2
    • 在这再前一个子串 0 ～ i-dp[i] 中，若有匹配好的（以i-dp[i]为结尾的）子串，我们则须将这一段也追加入当前结果中：dp[i]+=dp[i-dp[i]]

3. dp[i][j]的含义：

字符串s，到第 i 个字符为止，包含最后一个字符s[i]在内，最长匹配子串的长度。

4. 状态转移：

dp[i]=

• (s[i] == '(')：= 0 (open++)
(s[i] == ')') && open>0：=
• 上一个包含s[i]字符的状态：dp[i-1]+2
• + 当前满足条件子串直前的字符串的结果 dp[i-dp[i]]
• (open--)

5. base case：

• dp[0]=0
• dp[1]=0

对于本问题所求，则将以各个字符（包含该字符）为止，最长满足条件匹配子串长度，求最大值。

res = max(res, dp[i]);

代码参考：

class Solution {
public:
    //dp[i]: s[0~i], && s[i]included, the length of the parentheses substring.
    //state: index i
    //opt:
    // s[i]=='(': dp[i]=0 (against:&& s[i]included)
    // s[i]==')': if opened(previous contained "("), dp[i]=dp[i-1]+2
    //            if dp[i](substring len)< i(all str len), dp[i]+=dp[i-dp[i]]; add previous result
    //base: dp[0] = 0,
    //      dp[1] = 0
    int longestValidParentheses(string s) {
        int res = 0;
        int open = 0;
        vector<int> dp(s.size(), 0);
        for(int i=0; i<s.size(); i++) {
            if(s[i]=='(') {
                open++;
                dp[i]==0;
            } else if(s[i]==')' && open>0) {//')'
                open--;
                dp[i] = dp[i-1]+2;
                if(dp[i]<i) dp[i]+=dp[i-dp[i]];
            }
            res = max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
};