FFT常数优化（共轭优化）

最近闲着无聊研究了下(FFT)的常数优化，大概就是各种(3)次变(2or1.5)次之类的，不过没见过啥题卡这个的吧。

关于(FFT)可以看这里：浅谈FFT&NTT。

关于复数

设(x=a+bi)，其中(i)是虚数单位，那么我们用(ar x)表示(x)的共轭复数，即(ar x=a-bi)。

共轭复数有一个这样的性质：

[overline{ab}=ar a cdot ar b ]

证明展开就好了，这个是下面优化的关键。

设(omega_n)为(n)阶单位根，则(overline{omega _n^{x}}=omega_{n}^{-x})。

idft变dft

设(f(x)=sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i)，注意到：

[ncdot[j]{ m idft}(f)=sum_{i=0}^{n-1}omega_{n}^{-ij}a_i=a_0+sum_{i=1}^{n-1}omega_{n}^{ij}a_{n-i} ]

也就是说我们如果进行一次std::reverse(a+1,a+n)，然后dft(a)，在除以(n)，我们就完成了一次(idft)。

多项式乘法优化 1

给出多项式(f(x)=sum_{i=0}^{n}a_ix^i,g(x)=sum_{i=0}^{m}b_ix^i)，求其卷积。

这里最开始介绍一种非常简洁的优化方法，构造多项式(h(x))：

[h(x)=f(x)+ig(x) ]

[h^2(x)=f^2(x)-g^2(x)+2if(x)g(x) ]

那么我们只需要取(h^2(x))的虚部除以(2)就是答案，这只需要做两次(FFT)。

多项式乘法优化 2

这个和上面的关联不大，设(X_i)表示多项式(F(x))(dft)之后的系数，(a_i)表示(dft)之前的系数，设(F(x))为(n)项的多项式，且(n=2^k)，注意到：

[X_i=sum_{j=0}^{n-1}a_jomega_{n}^{ij},X_{n-i}=sum_{j=0}^{n-1}a_jomega_{n}^{-ij} ]

即：(X_i=overline{X_{n-i}})。

这实质上是因为(F)没有虚部的原因，我们换一个有虚部的多项式试试：

[X_i=sum_{j=0}^{n-1}(a_j+ib_j)omega_{n}^{ij}\ X_{n-i}=sum_{j=0}^{n-1}(a_j+ib_j)omega_{n}^{-ij}\ overline{X_{n-i}}=sum_{j=0}^{n-1}(a_j-ib_j)omega_{n}^{ij}\ ]

等等，我们发现第一个式子和第三个式子很像，两式相加减可以得到：

[X_i+overline{X_{n-i}}=2sum_{j=0}^{n-1}a_jomega_{n}^{ij}\ X_i-overline{X_{n-i}}=2isum_{j=0}^{n-1}b_jomega_{n}^{ij} ]

注意到等式右边就是(a) (dft)完之后的结果，那么对于多项式(F(x),G(x))，我们可以构造一个函数然后(dft)一次，然后(O(n))得到两个多项式(dft)之后的结果，总共只用了一次(FFT)。

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当然这个玩意也可以这样用：假设我们现在想求(dft(F(x)))，我们把(F(x))奇偶分类，构造多项式：

[g(x)=sum_{i=0}^{n/2-1}(a_{2i}+ia_{2i+1})x^i ]

然后相当于是(0.5)次(FFT)来完成这个事，设(dft(g(x)))每一项为(X_i)，(dft(F(x)))每一项为(Y_i)，那么推一下可以得到：

[Y_i=frac{X_i+overline{X_{n/2-i}}}{2}-2omega_{n}^i(X_i-overline{X_{n/2-i}}) ]

注意这里只有(iin [0,n/2))的值，(Y_{n/2}​)特殊处理一下，后面的可以通过前面得到。

MTT常数优化

( m MTT)就是拆系数( m FFT)，设多项式(s(x),t(x))，我们要算(s(x)t(x))，模数任意。

我们拆系数，设拆完了之后是(s(x)=a(x)+b(x)cdot p,t(x)=c(x)+d(x)cdot p)。

构造(F(x)=a(x)+icdot b(x))，(G(x)=c(x)+icdot d(x))。

那么有：

[egin{align} &F(omega_n^j)=sum_{i=0}^{n-1}(a_i+ib_i)omega_n^{ij}\ &F(omega_n^{-j})=sum_{i=0}^{n-1}(a_i+ib_i)omega_n^{-ij}\ &overline{F(omega_n^{-j})}=sum_{i=0}^{n-1}(a_i-ib_i)omega_n^{ij}\ end{align} ]

那么相加减可得(a(x),b(x))的(dft)。

令(h(x)={ m dft}(a(x))cdot { m dft}(G(x))={ m dft}(a(x)cdot G(x))={ m dft}(a(x)c(x)+icdot a(x)d(x)))。

那么我们(idft)一次(h(x))就可以得到(a(x)c(x),a(x)d(x))。

同理可以得到(b(x)c(x),b(x)d(x))，一共(4)次(dft)。

代码长这样：

void mul(int *r,int *s,int *t,int len) {
    for(N=1,bit=0;N<len;N<<=1,bit++);
    for(int i=1;i<N;i++) pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<(bit-1));
    for(int i=0;i<N;i++) g[0][i]=cp(r[i]&all,r[i]>>15),g[1][i]=cp(s[i]&all,s[i]>>15);
    fft(g[0]),fft(g[1]);
    for(int i=0;i<N;i++) {
        int j=(N-i)&(N-1);
        g[2][j]=(g[0][i]+conj(g[0][j]))*cp(0.5,0)*g[1][i];
        g[3][j]=(g[0][i]-conj(g[0][j]))*cp(0,-0.5)*g[1][i];
    }fft(g[2]),fft(g[3]);
    for(int i=0;i<N;i++) g[2][i]=g[2][i]/N,g[3][i]=g[3][i]/N;
    for(int i=0;i<N;i++) {
        ll pp=g[2][i].r+0.5,x=g[2][i].i+0.5,y=g[3][i].r+0.5,z=g[3][i].i+0.5;
        t[i]=(pp%p+(((x+y)%p)<<15)+((z%p)<<30))%p;
    }
}