Loj #3059. 「HNOI2019」序列

Loj #3059. 「HNOI2019」序列

给定一个长度为 (n) 的序列 (A_1, ldots , A_n)，以及 (m) 个操作，每个操作将一个 (A_i) 修改为 (k)。第一次修改之前及每次修改之后，都要求你找到一个同样长度为 (n) 的单调不降序列 (B_1, ldots , B_n)，使得 (sum_{i=1}^n (A_i −B_i)^2) 最小，并输出该最小值。需要注意的是每次操作的影响都是独立的，也即每次操作只会对当前询问造成影响。为了避免精度问题，我们保证这个最小值是个分数，也即能表示为两个非负整数相除的形式：(x/y)。那么你将要输出 ((x imes y^{P-2})mod P) 的值，表示模意义下 (x/y) 的值。其中 (P=998244353) 是一个大质数。

输入格式

第一行两个非负整数 (n,m)，代表序列长度和操作数。

第二行有 (n) 个由空格隔开的正整数，代表序列 (A_1, ldots , A_n)。

接下来 (m) 行每行两个正整数 (i, k)，代表将 (A_i) 修改为 (k)。

输出格式

输出 (m + 1) 行每行一个整数，第 (i) 行输出第 (i − 1) 次修改后的答案。特别的，第 (1) 行应为初始局面的答案。

数据范围与提示

对于前 (10\%) 的数据，保证 (n, m le 10)，(k, A_i ≤ 1000)，且存在一种最优方案，使得 (B_i) 皆为整数。

对于前 (30\%) 的数据，保证 (n, m le 100)。

对于另外 (20\%) 的数据，保证 (m = 0)。

对于另外 (20\%) 的数据，保证 (n, m le 3 imes 10^4)。

对于所有数据，保证 (3 le n le 10^5， 0 le m le 10^5， 1 le k, A_i le 10^9)。

(\)

Orz

假设没有修改，那这就是个经典问题（然而我不会）。

如果(A)也是个单调不下降序列，那么答案就是(0)。否则，对于(A_i>A_{i+1})的情况，我们将(A_i)和(A_{i+1})合并起来。合并后的块之间也存在这种关系，不过是拿块的平均值比较。

(B_i)就是(i)所在块的平均值。

我们先将询问离线下来，按位置排序。假设当前处理位置(i)的询问，我们维护两个栈，一个是从(1)到(i-1)，按上述规则合并后的栈；一个数从(i+1)到(n)按上述规则合并后的栈。对于后一个栈，我们可以先从(n)到(1)维护一遍，记录下每个位置(i)加入栈中对这个栈的修改。然后依次回退。

假设修改后(i)所在的块为([L,R])，那么([L,R])，([1,L-1])与([R+1,n])分别形成的栈之间是相互独立的。这也就是维护两个栈的原因。

考虑求([L,R])。我们先二分出(R)，然后再找对应的(L)，判断([L,R])的平均值是否(leq)(R+1)所在块的平均值，如果是，将二分边界往左移；否则往右移（注意这里二分的是完整的块）。因为如果以(R)所在块为右端点成立，那么我们加入(R)所在块右侧的块依然成立，所以答案是有单调性的。找(R)对应的(L)用的也是相同的原理。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=998244353;
ll ksm(ll t,ll x) {
	ll ans=1;
	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
		if(x&1) ans=ans*t%mod;
	return ans;
}

int n,m;
ll a[N];

struct node {
	ll sum,size;
	int l,r;
	long double key;
	node() {}
	node(ll _sum,ll _size,int _l,int _r) {
		sum=_sum,size=_size;
		l=_l,r=_r;
		key=(long double)sum/size;
	}
};

node operator +(const node &a,const node &b) {return node(a.sum+b.sum,a.size+b.size,min(a.l,b.l),max(a.r,b.r));}

int cal() {
	static node st[N];
	int top;
	st[top=1]=node(a[1],1,1,1);
	node tem;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		tem=node(a[i],1,i,i);
		while(top>=1&&st[top].key>=tem.key) {
			tem=tem+st[top];
			top--;
		}
		st[++top]=tem;
	}
	int now=1;
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=top;i++) {
		ll ave=st[i].sum%mod*ksm(st[i].size,mod-2)%mod;
		for(int j=1;j<=st[i].size;j++,now++) {
			(ans+=(a[now]-ave)*(a[now]-ave))%=mod;
		}
	}
	return ans;
}

int rx[N],lx[N];
ll sum[N];
ll suf[N],pre[N],sums[N];

int t1=0,t2=0;
node pres[N],sufs[N];
int pos[N];
node del[N];

struct query {
	int id,k;
};

vector<query>q[N];
int Find_left(int x,ll val,int R) {
	if(x==1) return 1;
	if(pres[t1].key<=(long double)(sum[R]-sum[x]+val)/(R-x+1)) return x;
	int l=1,r=t1,mid;
	while(l<r) {
		mid=l+r+1>>1;
		int L=pres[mid].l;
		long double k=(long double)(sum[R]-sum[L-1]-a[x]+val)/(R-L+1);
		if(pres[mid-1].key<=k) l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	return pres[l].l;
}

int Find_right(int x,ll val) {
	if(x==n) return n;
	int L=Find_left(x,val,x);
	if(sufs[t2].key>=(long double)(sum[x-1]-sum[L-1]+val)/(x-L+1)) return x;
	int l=1,r=t2,mid;
	while(l<r) {
		mid=l+r+1>>1;
		int R=sufs[mid].r;
		int L=Find_left(x,val,R);
		long double k=(long double)(sum[R]-sum[L-1]-a[x]+val)/(R-L+1);
		if(k>sufs[mid-1].key) r=mid-1;
		else l=mid;
	}
	return sufs[l].r;
}

ll Ans[N];

int main() {
	n=Get(),m=Get();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=Get();
	
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
		sums[i]=(sums[i-1]+a[i]*a[i])%mod;
	}
	cout<<cal()<<"
";
	
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int x=Get(),k=Get();
		q[x].push_back((query) {i,k});
	}
	
	node tem;
	for(int i=n;i>=1;i--) {
		tem=node(a[i],1,i,i);
		pos[i]=t2;
		while(t2&&sufs[t2].key<=tem.key) {
			tem=tem+sufs[t2];
			t2--;
		}
		del[i]=sufs[++t2];
		sufs[t2]=tem;
		
		ll ave=tem.sum%mod*ksm(tem.size,mod-2)%mod;
		int R=tem.r;
		suf[i]=((suf[R+1]+sums[R]-sums[i-1]+ave*ave%mod*(R-i+1)-2*ave*((sum[R]-sum[i-1])%mod))%mod+mod)%mod;
	}
	
	pres[0].key=0;
	sufs[0].key=1e9+7;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		sufs[t2]=del[i];
		t2=pos[i];
		for(int j=0;j<q[i].size();j++) {
			int x=i;
			ll k=q[i][j].k;
			ll dlt=(k-a[x]+mod)%mod,dlts=(k*k-a[x]*a[x])%mod+mod;
			int R=Find_right(x,k),L=Find_left(i,k,R);
			ll ans=(pre[L-1]+suf[R+1])%mod;
			ll ave=(sum[R]-sum[L-1]+dlt+mod)%mod*ksm(R-L+1,mod-2)%mod;
			ans=((ans +sums[R]-sums[L-1]+dlts +ave*ave%mod*(R-L+1)%mod -2*ave*((sum[R]-sum[L-1]+dlt)%mod))%mod+mod)%mod;
			Ans[q[i][j].id]=ans;
		}
		tem=node(a[i],1,i,i);
		while(t1&&pres[t1].key>=tem.key) {
			tem=tem+pres[t1];
			t1--;
		}
		pres[++t1]=tem;
		
		ll ave=tem.sum%mod*ksm(tem.size,mod-2)%mod;
		int L=tem.l;
		pre[i]=((pre[L-1]+sums[i]-sums[L-1]+ave*ave%mod*(i-L+1)%mod-2*ave*((sum[i]-sum[L-1])%mod))%mod+mod)%mod;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) cout<<Ans[i]<<"
";
	return 0;
}