处理线性递推的一些方法

线性递推

形如

[F_n=sum_{i=1}^kF_{n-i}*a_i ]

通常情况下给出(F_{0ldots k})的值。

矩阵快速幂

适用于(k)比较小，(n)非常大的情况。

复杂度(O(k^3logn))

特征多项式

用于解决常系数齐次线性递推。

这个可以看做矩阵快速幂的一个优化。

证明

设(displaystyle B(x)=x^k-sum_{i=1}^ka_ix^{k-i})。现在要求(F_n)的值。设(G(x)=x^n\% B(x))，则$ displaystyle F_n=sum_{i=0}^kg_i*F_i$。

因为

[x^{2*n}equiv (x^n)^2pmod{B(x)} ]

所以可以用类似于快速幂的方式求(x^n\%B(x))。

复杂度(O(k^2logn))。

分治FFT

可以发现，这个转移也是一个卷积式子。所以我们可以分治。处理区间([l,r])的时候求出(f_{lldots mid})对(f_{mid+1ldots r})的贡献。

复杂度(O(nlog^2n))

多项式求逆

设(A(x)=sum_{i=1}^ka_ix^i)，则：

[F=F*A+[x_0]F\ Rightarrow F=frac{[x^0]F}{1-A} ]

复杂度(O(nlogn))