luogu2606 排列计数

题目大意

　　求满足下列条件的排列$P$的数量：$forall P_i, P_i>P_{lfloor frac{i}{2} floor}$。

思路

从下标入手

　　反过来想，也就是对$forall P_i, P_i<P_{2i}且P_i<P_{2i+1}$。因为小根堆中一个“小三角”中节点的编号满足：若顶部编号为$i$，则左下角节点编号为"2i"，右下角为$2i+1$，因此题目就是要让我们求大小为$n$的小根堆的数量。

递归式

　　因为堆这个结构有“子堆”这个子结构，所以可以递归。定义$l(n)$为大小为$n$的堆的左子堆大小，$f(i)$为大小为$i$，所有节点的值的取值范围一定（但并没有具体指定）时都不相等的堆有多少个。该堆的左子堆的个数等于当左子堆所有节点的值的取值范围的种数（$C_{n-1}^{l(n)}$）乘以当所有节点的值的取值范围一定时的堆数（$f(l(n))$）。分析完左子堆，随后还要乘以右子堆的堆数（$f(r(n))$）。由于左子堆取值范围的种数确定了，右子堆的也确定了，所以不用再次乘以$C_{n-1}^{r(n)}$了。故总递归式为：

$$f(n)=C_{n-1}^{l(n)}f(l(n))f(r(n))$$

　　注意求组合数时要用Lucas定理取模。

怎么求$l(n),r(n)$？

　　注意这个没有通项公式，要按照堆的顺序递归解决。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
const int MAX_N = 1000010;
ll F[MAX_N], Fact[MAX_N];
int Size_Lsize[MAX_N], Size_Rsize[MAX_N];

int GetSize(int curNode, int n)
{
	if (curNode > n)
		return 0;
	int lSize = GetSize(curNode * 2, n), rSize = GetSize(curNode * 2 + 1, n), curSize = lSize + rSize + 1;
	Size_Lsize[curSize] = lSize, Size_Rsize[curSize] = rSize;
	return curSize;
}

void GetFact(int n, int p)
{
	Fact[0] = Fact[1] = 1;
	for (ll i = 2; i <= n; i++)
		Fact[i] = i * Fact[i - 1] % p;
}

ll Mult(ll a, ll b, ll p)
{
	ll ans = 0;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			ans = (ans + a) % p;
		a = (a + a) % p;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

ll Power(ll a, ll n, ll p)
{
	ll ans = 1;
	while (n)
	{
		if (n & 1)
			ans = Mult(ans, a, p);
		a = Mult(a, a, p);
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}

ll Inv(ll a, ll p)
{
	return Power(a, p - 2, p);
}

ll Comb(int n, int m, int p)
{
	return Fact[n] * Inv(Mult(Fact[n - m], Fact[m], p), p);
}

ll Lucas(int n, int m, int p)
{
	if (m == 0)
		return 1;
	return Comb(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}

ll Dfs(int n, int p)
{
	if (F[n])
		return F[n];
	if (n == 1 || n == 0)
		return F[n] = 1;
	return F[n] = Dfs(Size_Lsize[n], p) * Dfs(Size_Rsize[n], p) % p * Lucas(n - 1, Size_Lsize[n], p) % p;//易忘点：Dfs后的%p
}

int main()
{
	int n;
	ll p;
	scanf("%d%lld", &n, &p);
	GetSize(1, n);
	GetFact(n, p);
	printf("%lld
", Dfs(n, p));
	return 0;
}