字符串类dp的题目总结

熟练掌握回文串吧，大致有dp或者模拟类的吧

①dp+预处理，懂得如何枚举回文串（一）

②dp匹配类型的题目（二）

③dp+预处理 子串类型 （三）

④字符串的组合数（四）

一：划分成回文串 UVA11584 紫书275     dp+预处理

题目大意：输入一个字符串，把他划分成尽量少的回文串，能划分成几个？

思路：定义dp[i]表示i之间最少能弄成几个回文串，然后枚举1~j(j < i)，然后在枚举j的时候判断目前是否为回文串，这样复杂度为n^3.因此我们提前用n^2判断好是否为回文串就行了。回文串的方法就是枚举中心，但是枚举中心也是有技巧的！

lrj老师的代码太牛了！！！第一次见到这么写的！！！具体看代码上的注释吧！！！

// UVa11584 Partitioning by Palindromes
// Rujia Liu
// This code is slightly different from the book.
// It uses memoization to judge whether s[i..j] is a palindrome.
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 5;
int n, kase, vis[maxn][maxn], p[maxn][maxn], d[maxn];
char s[maxn];

int is_palindrome(int i, int j) {
  if(i >= j) return 1;
  if(s[i] != s[j]) return 0;
  //p[i][j]定义的是i到j是否为回文串
  if(vis[i][j] == kase) return p[i][j];
  vis[i][j] = kase;//我去，还能这么玩，在dp的过程中预处理，然后用kase区分
  p[i][j] = is_palindrome(i+1, j-1);
  return p[i][j];
}

int main() {
  int T;
  scanf("%d", &T);
  memset(vis, 0, sizeof(vis));
  for(kase = 1; kase <= T; kase++) {
    scanf("%s", s+1);
    n = strlen(s+1);
    d[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
      d[i] = i+1;
      for(int j = 0; j < i; j++)
        if(is_palindrome(j+1, i)) d[i] = min(d[i], d[j] + 1);
    }
    printf("%d
", d[n]);
  }
  return 0;
}

然后我的for循环和lrj老师的不一样

//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！
//取物问题一定要小心先手胜利的条件
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
const int maxn = 1000 + 5;
char atlas[maxn];
int dp[maxn];
bool p[maxn][maxn], vis[maxn][maxn];

bool dfs(int i, int j){
    if (i == j || j < i) return true;
    if (atlas[i] != atlas[j]) return false;
    if (vis[i][j]) return p[i][j];
    vis[i][j] = true;
    p[i][j] = dfs(i + 1, j - 1);
    return p[i][j];
}

int main(){
    int t; cin >> t;
    while (t--){
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        scanf("%s", atlas + 1);
        int len = strlen(atlas + 1);
        for (int i = 1; i <= len; i++){
            for (int j = 1; j < i; j++){
                p[i][j] = dfs(j, i);
            }
        }
        memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= len; i++){
            dp[i] = dp[i - 1] + 1;//我定义目前这个字符单独组成回文串
            for (int j = 1; j <= i; j++){
                if (p[i][j]){
                    dp[i] = min(dp[i], dp[j - 1] + 1);
                }
            }
        }
        printf("%d
", dp[len]);
    }
    return 0;
}

学习之处：回文串有两种，一种是abba，另一种是cbabc。然后如何枚举这两种本来是应该要分类讨论的，我的想法是枚举i-j，然后用n^2的想法

二：括号序列 UVA1626 紫书278

题目大意：给你几个合法的串的定义，只包含()[]这四个符号，加上多少的(、)、[、]能使给定的串变成一个合法的串

思路：定义dp[i][j]表示从i~j成功匹配所需要添加的最少的符号的个数使之变成合法的串。

首先我们根据dfs来，可以发现，如果是dfs(i, j)，我们要尝试在每一种i~j中进行分割，然后如果i和j是一个合法的串，那么就直接dfs(i-1, j-1)，不然就进行分割，然后记得，当最后只有一个符号的时候就假定要再加一个字符即可。

//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！
//取物问题一定要小心先手胜利的条件
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 100 + 5;
char s[maxn];
int dp[maxn][maxn];//从最右边i开始，到j匹配成功的最小的数目

bool match(int i, int j){
    if (s[i] == '(' && s[j] == ')') return true;
    if (s[i] == '[' && s[j] == ']') return true;
    return false;
}

void display(int i, int j){
    if (i == j) {
        if (s[i] == '(' || s[i] == ')') printf("()");
        else printf("[]");
        return ;
    }
    int ans = dp[i][j];
    if (match(i, j) && ans == dp[i + 1][j - 1]){
        printf("%c", s[i]);
        display(i + 1, j - 1);
        printf("%c", s[j]);
        return ;
    }
    for (int k = i; k <= j - 1; k++){
        if (ans == dp[i][k] + dp[k + 1][j]){
            display(i, k); display(k + 1, j);
            return ;
        }
    }
}

void readline(char* S) {
  fgets(S, maxn, stdin);
}

int main(){
    int T;
    readline(s); sscanf(s, "%d", &T); readline(s);
    while (T--){
        readline(s);
        int n = strlen(s) - 2;
        for (int i = 0; i <= n; i++){
            dp[i][i] = 1;
        }
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--){
            for (int j = i + 1; j <= n; j++){
                dp[i][j] = inf;
                if (match(i, j)) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i + 1][j - 1]);
                for (int k = i; k <= j - 1; k++){//如果从k=i+1开始枚举的话，就需要我下面的两句话,但是弊端就是输出的时候要多很多的条件。不过从i开始枚举的话就不需要了
                    //if (match(i, k)) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i + 1][k - 1] + dp[k + 1][j]);
                    //if (match(k, j)) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k - 1] + dp[k + 1][j - 1]);
                    ///上面两句话有没有无所谓，因为你的j是会枚举到你这些列举的情况的
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j]);
                }
            }
        }
        display(0, n);
        printf("
");
        if(T) printf("
");
        readline(s);
        //printf("%d
", dp[0][n]);
    }
    return 0;
}

学习之处：定义的学习，dp边界的找寻通过dfs来进行的，如何路径输出

三：http://codeforces.com/contest/477/problem/C    codeforces 272 div1 C

题目大意：给你字符串s和p，从s删除0~|s|个字符，最多能形成多少个不重叠的字串p

思路：定义dp[i][j]表示前i个字符删除j个，定义cal(i)表示从第i个开始往前数，删除几个才能组合成一个子串p。

//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！
//取物问题一定要小心先手胜利的条件
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
const int maxn = 2000 + 5;
char s[maxn], p[maxn];
int lens, lenp, pos;
int dp[maxn][maxn];//对当前位置i，删除j个能产生的最大匹配数

int cal(int ps){
    int lp = lenp;
    int cnt = 0;
    for (int i = ps; i >= 1; i--){
        if (s[i] == p[lp]){
            lp--;
            if (lp == 0){
                pos = i;
                return cnt;
            }
        }
        else cnt++;
    }
}

int main(){
    scanf("%s", s + 1); lens = strlen(s + 1);
    scanf("%s", p + 1); lenp = strlen(p + 1);

    for (int i = lenp; i <= lens; i++){
        int cnt = cal(i);
        for (int j = 0; j < i; j++){
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j]);
            if (j >= cnt && pos - 1 >= j - cnt){
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[pos - 1][j - cnt] + 1);
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i <= lens; i++){
        printf("%d%c", dp[lens][i], i == lens ? '
' : ' ');
    }
    return 0;
}

四：http://codeforces.com/contest/476/problem/B  codeforces 272 div2 B

题目大意：给你两个串，串1是由+或-组合而成，串二是由+、-、?组合而成的。？可以随便改变成+或-，问有多少的概率能使得两个串的+和-数目相等

思路：先求出串1串二中的+-？的数目，然后让串一的+-减去串二的+-，如果小于0就直接概率为0，反之进行dp即可。定义dp[i][j]，表示一共有i+j个？，生成i个+，j个-。

//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！
//取物问题一定要小心先手胜利的条件
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
const int maxn = 100 + 5;
char s1[maxn], s2[maxn];
double dp[maxn][maxn];

int id(char c){
    if (c == '+') return 0;
    if (c == '-') return 1;
    if (c == '?') return 2;
}

int main(){
    scanf("%s%s", s1, s2);
    int len = strlen(s1);
    for (int i = 0; i < len; i++){
        s1[i] = id(s1[i]);
        s2[i] = id(s2[i]);
    }
    sort(s1, s1 + len);
    sort(s2, s2 + len);
    int t10 = upper_bound(s1, s1 + len, 0) - lower_bound(s1, s1 + len, 0);
    int t11 = upper_bound(s1, s1 + len, 1) - lower_bound(s1, s1 + len, 1);

    int t20 = upper_bound(s2, s2 + len, 0) - lower_bound(s2, s2 + len, 0);
    int t21 = upper_bound(s2, s2 + len, 1) - lower_bound(s2, s2 + len, 1);
    int t22 = upper_bound(s2, s2 + len, 2) - lower_bound(s2, s2 + len, 2);

    t10 -= t20, t11 -= t21;
    if (t10 < 0 || t11 < 0){
        printf("0.000000000000
");
        return 0;
    }
    double ans = 0;
    dp[0][0] = 1.0;
    for (int i = 1; i <= t22; i++){//有i个
        for (int j = 0; j <= i; j++){//有j个+
            int l = i - j;
            if (j == 0) dp[j][l] = dp[j][l - 1] * 0.5;
            else if (l == 0) dp[j][l] = dp[j - 1][l] * 0.5;
            else dp[j][l] = max(dp[j - 1][l] * 0.5 + dp[j][l - 1] * 0.5, dp[j][l]);
        }
    }
    printf("%.12f
", dp[t10][t11]);
    return 0;
}

五：

六：

七：