gcd的性质+分块 Bzoj 4028

4028: [HEOI2015]公约数数列

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Description

设计一个数据结构. 给定一个正整数数列 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}，你需要支持以下两种操作：

1. MODIFY id x: 将 a_{id} 修改为 x.

2. QUERY x: 求最小的整数 p (0 <= p < n)，使得 gcd(a_0, a_1, ..., a_p) * XOR(a_0, a_1, ..., a_p) = x. 其中 XOR(a_0, a_1, ..., a_p) 代表 a_0, a_1, ..., a_p 的异或和，gcd表示最大公约数。

Input

 输入数据的第一行包含一个正整数 n.

接下来一行包含 n 个正整数 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}.

之后一行包含一个正整数 q，表示询问的个数。

之后 q 行，每行包含一个询问。格式如题目中所述。

Output

对于每个 QUERY 询问，在单独的一行中输出结果。如果不存在这样的 p，输出 no.

Sample Input

10
1353600 5821200 10752000 1670400 3729600 6844320 12544000 117600 59400 640
10
MODIFY 7 20321280
QUERY 162343680
QUERY 1832232960000
MODIFY 0 92160
QUERY 1234567
QUERY 3989856000
QUERY 833018560
MODIFY 3 8600
MODIFY 5 5306112
QUERY 148900352

Sample Output

6
0
no
2
8
8

HINT

 对于 100% 的数据，n <= 100000，q <= 10000，a_i <= 10^9 (0 <= i < n)，QUERY x 中的 x <= 10^18，MODIFY id x 中的 0 <= id < n，1 <= x <= 10^9.

思路：

因为我们知道，gcd每次必然是/2的，所以gcd最多就只要log个，然后呢，我们对每个块都分块，并且记录每个块的gcd[i]和xor[i]，分别表示gcd(1~i)和xor(1~i),

①如果是单点修改的话，就暴力更新一下目前的块即可，所以暴力更新的复杂度为n^0.5

②如说是查询的话，我们就暴力每个块，对于目前这个块。 

定义pregcd表示目前这个块之前所有的数字的gcd，prexor为目前这个块之前所有的数字的xor。然后，如果这个块中，他的gcd[r[i]]和pregcd求gcd以后没有发生变化，那么就表示可能存在xor[j]^prexor * (pregcd和gcd[r[i]]的gcd) = val。那么我们就二分去看看存不存在这个xor[j]，如果存在，就从头开始暴力，找到最小的。当然，这个二分的话可以用set来维护，只需要set.count（）就可以查询了。所以这里的复杂度为sqrt(n) * log(sqrt(n))

如果gcd发生了变化那么我们就暴力去查询即可,所以这里的复杂度为sqrt(n).

因为gcd最多不会超过log个，所以上面查询+修改的最大复杂度为q*sqrt(n)*log(sqrt(n))

//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！
//取物问题一定要小心先手胜利的条件
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
#define LL long long
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define haha printf("haha
")
/*
首先，我们对所有的东西进行分块，然后我们对每个区间进行处理，分别得到这个区间的gcd和xor。
①然后如果前面的区间到这个块以后的gcd如果发生了改变，那么，我们就暴力这个块，复杂度为sqrt(n)
②如果前面的区间到这个块以后gcd没有发生改变，那么我们就二分这个块，二分的证明如下：
假定lastxor是该区间之前的xor值，lastgcd是该区间之前的gcd的值，假定我们要寻找的xor[j]是在这个块中
那么xor[j]^lastxor * lastgcd = k,转化以后为xor[j] = k/lastgcd ^ lastxor，所以我们只要二分这个块就好了
因此这里的复杂度为logn
因为gcd一共就只有logn个，所以复杂度最坏为sqrt(n) * logn个
*/
const int maxn = 1e6 + 5;
LL a[maxn], Xor[maxn], gcd[maxn];
int l[maxn], r[maxn], block, num, belong[maxn];
int n, q;
set<LL> S[maxn];

LL get_gcd(LL a, LL b){
    return b == 0 ? a : get_gcd(b, a % b);
}

void build(){
    block = sqrt(n); num = n / block;
    if (n % block) num++;
    for (int i = 1; i <= num; i++)
        l[i] = (i - 1) * block + 1, r[i] = i * block;
    r[num] = n;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        belong[i] = (i - 1) / block + 1;
    }
}

void update(int p){
    S[p].clear();
    gcd[l[p]] = a[l[p]], Xor[l[p]] = a[l[p]];
    S[p].insert(Xor[l[p]]);
    for (int i = l[p] + 1; i <= r[p]; i++){
        gcd[i] = get_gcd(gcd[i - 1], a[i]);
        Xor[i] = Xor[i - 1] ^ a[i];
        S[p].insert(Xor[i]);
    }
}

void query(LL val){
    LL prexor, pregcd;
    for (int i = 1; i <= r[1]; i++){
        if (gcd[i] * Xor[i] == val){
            printf("%d
", i-1); return ;
        }
    }
    prexor = Xor[r[1]], pregcd = gcd[r[1]];
    for (int i = 2; i <= num; i++){
        LL nowgcd = get_gcd(pregcd, gcd[r[i]]);
        if (nowgcd == pregcd){///xor[i] ^ prexor * nowgcd = val
            LL tmp = val / nowgcd ^ prexor;
            if (val % nowgcd == 0 && S[i].count(tmp)){
                for (int j = l[i]; j <= r[i]; j++){
                    if (Xor[j] == tmp){
                        printf("%d
", j - 1); return ;
                    }
                }
            }
        }
        else {
            for (int j = l[i]; j <= r[i]; j++){
                nowgcd = get_gcd(gcd[j], pregcd);
                LL tmp = val / nowgcd ^ prexor;
                if (val % nowgcd == 0 && Xor[j] == tmp){
                    printf("%d
", j - 1); return;
                }
            }
        }
        pregcd = get_gcd(pregcd, gcd[r[i]]);
        prexor = prexor ^ Xor[r[i]];
    }
    printf("no
");
}

int main(){
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%lld", a + i);
    }
    build();
    for (int i = 1; i <= num; i++)
        update(i);
    scanf("%d", &q);
    char ch[20];
    for (int i = 1; i <= q; i++){
        scanf("%s", ch);
        if (ch[0] == 'M'){
            int p; LL val;
            scanf("%d%lld", &p, &val);
            a[++p] = val;
            update(belong[p]);
        }
        else{
            LL val;
            scanf("%lld", &val);
            query(val);
        }
    }
    return 0;
}