[Leetcode] 96. Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
           /     /      /       
     3     2     1      1   3      2
    /     /                        
   2     1         2                 3

题目大意：给定整数n，问有多少不同的二叉搜索树（二叉搜索树的节点的值为1到n）？

分析：1-n，以i（1 <= i <= n）作为二叉搜索树的根节点，那么1到i-1部分为该二叉搜索树的左子树部分，i+1到n部分为该二叉搜索树的右子树部分，那么以i为根节点的二叉搜索树总共有（1到i-1组成的左子树 总数）*（i+1到n组成的右子树 总数）。因此，1到n组成的二叉搜索树的总个数为 分别以1到n为根节点的二叉搜索树的 个数 总和。

记F（i，n）表示总元素个数为n，即1到n，以i为根节点的二叉搜索树的个数。G（j）表示给定整数为j时，二叉搜索树的总个数。

则F（i，n）=G（i-1）*G（n-i）

G（n）=F（1，n）+ F（2，n）+ F（3，n）+ ... + F（n-1，n）+ F（n，n）

G(n) = G(0) * G(n-1) + G(1) * G(n-2) + … + G(n-1) * G(0)

用递归的方法，可以如下实现：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) { 
        if(n<=1) return 1;
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            sum += numTrees(i-1)*numTrees(n-i);
        }
        return sum;
    }
};

但是，由上面可知，存在多次重复计算，因此时间复杂度比较高，会超时。我们需要把中间结果保存下来，避免重复计算。

可以用动态规划实现。dp[i]表示给定i，有dp[i]个二叉搜索树，即上面所说的G（i）

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) { 
        if(n<=1) return 1;
        vector<int> dp(n+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=i;j++)
            {
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            }
            
        }
        return dp[n];
    }
};