【JZOJ5773】简单数学题【数论，数学】

题目大意：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/5773
题目图片：
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给出$N$，求$\frac{N-\frac{1}{2}T}{N-T}$值为正整数时$T$的所有正整数解（$0<T<N$）。

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思路：

40分做法：

$N\leq 10^6$
直接暴力枚举$T$，输出符合要求的即可。

100分做法：

首先，我们要求的是$\frac{N-\frac{1}{2}T}{N-T}$
设$x=N-T$，那么就有
$\frac{N-\frac{1}{2}T}{x}$
我们知道，$T=N-N+T=N-(N-T)$，所以
$\frac{N-\frac{1}{2}[N-(N-T)]}{x}$
用乘法分配律脱括号
$\frac{N-\frac{1}{2}N+\frac{1}{2}(N-T)}{x}$
拆成两半
$\frac{N-\frac{1}{2}N}{x}+\frac{\frac {1}{2}(N-T)}{x}$
左边可以简化
$\frac{\frac{1}{2}N}{x}+\frac{\frac {1}{2}(N-T)}{x}$
一开始设了$x=N-T$,右边有一项就是$N-T$,所以我们可以把它简化成
$\frac{\frac{1}{2}N}{x}+\frac{\frac {1}{2}x}{x}$
右边约分得
$\frac{\frac{1}{2}N}{x}+\frac {1}{2}$
我们知道，这个式子的值必须是个整数。我们设答案为整数$k$
$\frac{\frac{1}{2}N}{x}+\frac {1}{2}=k$
等号两边同时乘2得
$\frac{N}{x}+1=2k$
那么由于$2k$和1都是整数，所以就有$\frac{N}{x}$也是整数
当$\frac{N}{x}$为整数时，$x$就一定是$N$的因数，所以$N-T$就一定是$N$的因数！
那么我们就枚举$N$的因数$d[i]$，当$\frac{d[i]+1}{2}$为正整数（即$d[i]$是奇数）时，$N-d[i]$就是一个合法的解！

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代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 2000100
#define ll long long
using namespace std;

ll n,a[N],d[N],sum,ans;

int main()
{
	cin>>n;
	for (ll i=1;i<=sqrt(n);i++)  //求出n的所有因数
	 if ((n%i)==0)
	 {
	 	if (i*i==n) d[++sum]=i;
	 	else
	 	{
	 		d[++sum]=i;
	 		d[++sum]=n/i;
	 	}
	 }
	for (ll i=1;i<=sum;i++)
	{
		if (((n/d[i])%2)&&n-d[i])  //符合要求
		 a[++ans]=n-d[i];
	}
	sort(a+1,a+1+ans);
	cout<<ans;
	for (int i=1;i<=ans;i++)
	 cout<<' '<<a[i];
	return 0;
}