25.在从1到n的正数中1出现的次数[NumberOf1Between1_N]

【题目】

输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1 的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

【分析】

这是一道广为流传的google面试题。

普通n*lg(n)的解法。

【解法1】

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Find the number of 1 in an integer with radix 10 // Input: n - an integer // Output: the number of 1 in n with radix ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// int NumberOf1(unsigned int n) {     int number = 0;     while(n)     {         if(n % 10 == 1)             number ++;         n = n / 10;     }     return number; } ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Find the number of 1 in the integers between 1 and n // Input: n - an integer // Output: the number of 1 in the integers between 1 and n ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution1(unsigned int n) {     // T(n) = n*lg(n)     int number = 0;     // Find the number of 1 in each integer between 1 and n     for(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i)         number += NumberOf1(i);     return number; }

【解法2】

更加巧妙的lg(n)的解法。

简单的方法就是按照给位进行分析:

在个位出现1的个数=n/10+(个位=0,0；个位>1,1;个位=1，低0位+1)；

十位位出现1的个数=n/100*10+(十位=0,0；十位>1,10；十位=1，低一位+1)；

百位出现1的个数=n/1000*100+(百位=0,0；百位>1,100;百位=1，低两位+1)；

等等。

算法的复杂度仅仅和位数有关。

设第i位出现1的个数为s(i),N为输入整数n的位数。则总和sum= s(1)+…s(i)+…s(N)即为所求。

设bi为整数n的第i位数字，第i位之后的剩余数字为ri;

s(i) = A + B

A = n/10ⁱ*10^i-1

bi=( n/10^i-1)%10

ri= n/10^i-1

b(i)==0 ,则B=0

b(i)==1 ,则B=ri+1

b(i)>1 ,则B=10^i-1

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

int PowerBase10(unsigned int n) {     // 10^n     int result = 1;     for(unsigned int i = 0; i < n; ++ i)         result *= 10;     return result; } int b10(unsigned int n) {     return PowerBase10(n); } int NumberBitCount(unsigned int n) {     int N = 0;     while(n)     {         n = n / 10;         N++;     }     return N; } int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution2(unsigned int n) {     // T(n) = o(N) = o(lgn)     int N = NumberBitCount(n);     int si, sum = 0;     int A, B, bi, ri;     for (int i = 1; i <= N; i++)     {         A = n / b10(i) * b10(i - 1);         bi = n / b10(i - 1) % 10;         ri = n % b10(i - 1);         if (bi == 0)         {             B = 0;         }         else if (bi == 1)         {             B = ri + 1;         }         else if (bi > 1)         {             B = b10(i - 1);         }         si = A + B;         sum += si;     }     return sum; }

【参考】

http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200732494452636/

http://www.cnblogs.com/GoAhead/archive/2012/05/28/2521415.html

http://blog.csdn.net/sjf0115/article/details/8600599